0327

329

$ 8. Rachunki przybliżone — Przekształcanie szeregów

Obliczmy na podstawie tego wzoru liczbę n z dokładnością do siedmiu cyfr po przecinku. Do tego celu wystarczą te wyrazy wzoru, które są wyżej wypisane. Ponieważ oba szeregi są naprzemienne, więc błędy odjemnika i odjemnej spowodowane odrzuceniem nie wypisanych wyrazów spełniają odpowiednio nierówności

0 < A,. <

_J6_< J_

13 - 5'³    10"

0 < J₂ <

5•239⁵

1

10⁸

Zachowane wyrazy zamienimy na ułamki dziesiętne, zaokrąglając je do ośmiu znaków dziesiętnych. Obliczenia są zestawione niżej (znaki + lub — w nawiasie wskazują na znak poprawki)

16

5

16

5-5⁵

16

9-5*

= 3,20000000 = 0,00102400 = 0,00000091 (+)

16

3-5*

16

0,04266667 (-)

+ —— = 0,00002926 (-)

7.57

16

3,20102491

= 0,00000003 (-) 0,02469596

_ 3,20102491 0,04269596

3.15832895

Uwzględniając wszystkie poprawki, mamy

3.15832895    <

239

4

3-239*

= 0,01673640 (+>

= 0,00000010 (-)

0.01673630

16* <    3,15832898,

-0,01673632 < -4/? < -0,01673630,

skąd

3,14159263 < tt < 3,14159268.

Tak więc ostatecznie tc = 3,1415926 ..., przy czym wszystkie cyfry wypisane są poprawne.

411. Obliczanie logarytmów. U podstaw obliczeń leży szereg

0)

ln

n+1

ln (n+1)—ln n =

2n+

-(l+i

1 \ 3

1

1

3    (2n+1)²    5    (2n+1)

hr ⁺ ~)’

którym posługiwaliśmy się już w ustępie 406 [patrz (20)] przy wyprowadzeniu wzoru Stirlinga. Dla n = 1 otrzymujemy rozwinięcie liczby ln 2

1 9	' k ^+		1 11	1 ’ 9^5	+
	1	1		1	1
1	13	96	'	15	9^7

Szereg ten nadaje się w pełni do obliczeń. Wykażemy na przykład, że ograniczając się tylko do wypisanych już wyrazów można obliczyć ln 2 z 9 cyframi po przecinku.

Rzeczywiście, błąd powstający wskutek odrzucenia wyrazów tego szeregu poczynając od dziesiątego wynosi

_J=2/J___L + J___L_,    \ ;    ²    (1 i ¹ i ¹    1    \    ¹    '    ²

3 \ 19    9⁹    21    9‘°    /    3-19-9* \    9    9²    ""/    12-19-9⁸    10'° '