0573

575

§ 1. Teoria elementarna

Wreszcie

Twierdzenie 4*. Przy założeniach twierdzenia 4 równe są caiki iterowane

i    il b    b    i

J10) dy = / dy j f(x, 3’) g (x) dx = J g (x) dx j f(x, y) dy.

c    ca    a    c

Dowód jest dosłownie taki sam jak dowód twierdzenia 4, należy się tylko powołać na twierdzenia 2* i 3* zamiast na twierdzenia 2 i 3.

Liczne przykłady zastosowania tych twierdzeń (jak również twierdzeń poprzednich) znajdzie czytelnik w następnym ustępie.

511. Przykłady.

1) Posługując się rozwinięciem w szereg funkcji e‘, przedstawić w postaci sumy szeregu całki 1    1

i/^T

o    o ’ *

Na podstawie wniosku z twierdzenia 1* mamy 1

(a)

0    O    im* I    O

(a) f e* In x efx, (b) J dx.

f    k    ^v-*    *

j    j    ^ 1 ^L-j. dx — j* ln x dx+ 'y L |* x^m ln x dx =

0    O    m-1    O    wi-t    O

I* 2 (m+1)! (m+1) J *

Rio l

(b) f dx = f V — x—^3l2d.x = 2 V-!-.

J WZT    J Z_i m!    j—i (2m—1) ml

0 ^r    O i    m-1

2) Rozwijając w szereg obliczyć całkę

1

/a J In x ln (1 H--v) dx. o

Na podstawie twierdzeń z ustępu 437, 5° szereg

ln(l+-v) =    ⁽    I"'¹

Hal

jest jednostajnie zbieżny w przedziale <0, 1>. Ponieważ funkcja ln x jest bezwzględnie całkowalna w tym przedziale, to na podstawie tego samego wniosku z twierdzenia 1* jest

/ = V¹'I— f jr*ln xdx » 'S' —£

4—j    n J    4—i n (

1 1	i	1
n(«+l)^2 n	n+1
-ma. V	v - Zj V^2

Zl(*)

12

-D"

(«+!)’

Korzystając z tożsamości oraz ze znanych rozwinięć

(') Patrz ustępy 405 (18); 440, 8).