059

(1 + i)" + (1 — i)⁷‘ + 2" = 4

Pro soucet (1 4- i)⁷¹ + (1 — i)ⁿ + 2ⁿ tedy plati

GK) + G) ⁺ GH

po uprave leve strany dostaneme (1 + i)ⁿ + (1 - i)ⁿ +2ⁿ =

= (^v^)'^,(cos^ +isin^ + (>/2)^B^cos |-isin^ +2ⁿ = = 2ⁿ/² ^cos ^ + i sin + 2ⁿ^² ^cos ^ - i sin    + 2” =

= 2ⁿ + 2 • 2⁷¹/² cos ^ .

4

Vydelenim tohoto vyrazu ćtyfmi dostavame vysledek, ktery plati pro vśechna prirozena ćisla n:

G)⁺(:)⁺G)⁺(s)⁺-—I (*^⁺*—-”)

Priklad 10

V mnoźine C reśte rovnici

(1 + x)ⁿ = xⁿ

a urćete realnou ćast vsech jejich korenu.

Reseni

Je vidćt, ze dana rovnice nema koren x — 0, także ji mużeme delit. xⁿ;

1 “ł^- X

substituci -= y dostaneme pak binomickou rovnici yⁿ — 1=0,

x

jejiż koreny jsou ćisla

2ku . . 2k%    , _n „

j/jt = cos-+isin-, k = 0,1,2,.. . ,n — 1.

n    n

A

Yyjadfime-li z uvedene substituce x, dostaneme

1

coż znamena, że koreny póvodiu rovnice (1 + x)ⁿ = xⁿ jsou ćisia

Xk —    , j fe — 1,2,. . Tl 1-

Vk - 1

YSimnete si, źe je vyloućen koren yo, nebot’ yo = 1- Dostavame tak 7i-l korenu Xk, coż je v souladu s tim, że rovnice (1 + x)ⁿ = xⁿ je rovnid (n - l)-ho stupne, a nikoli n-telio. Dosazenim za yk pro fe = 1,2,..., n — 1 dostaneme

1

(    2 fen

cos-

V "

— 1 — i sin ^:

2kn

2ferc

4-1 sin-

n

2 — 2 cos ^:

2kr.

k = 1,2,... ,n — 1.

Odtud je vid£t, źe realna ćast vśech korenu Xk dane rovnice je ćislo

2 kit

1

2 '

cos--1

71

„    „    2 kr.

2 - 2 cos-

Presvedćte se sami o tom, że tento vztah pro koreny Xk lze zjednoduśit na tvar

x_k = -

1

2

1    fen - cotg — ,

2    71

fe = 1,2,... ,n - 1.

117