649
$ 5. Całki Eulera
spełnione są wszystkie warunki podane we wniosku z ustępu 521; funkcja ta jest ciągła (i przy tyra dodatnia) dlay^Oif^O, i całki
QO J
f-1 J y**"1 e-^dy = r(a + b)
oraz
00
y+6-1 e~y f t*-1 e~,y dt = r(a) yP~x e~y o
również są funkcjami ciągłymi: pierwsza — zmiennej t dla t ^ O, druga — zmiennej y dla y > 0. Powołanie się na wspomniany wniosek uzasadnia zmianę kolejności całkowania, a zatem i wzór (14) w przypadku gdy a > 1 i b > 1.
Jeżeli zaś wiemy tylko, że a > O i b > O, to — zgodnie z tym co udowodniliśmy —jest
B (a + 1, b+1) =
r(a + l)r(i+l) r(a+b+2)
Stąd wykorzystując wzory redukcyjne (2), (2') dla funkcji B i (9) dla funkcji r — łatwo można znów otrzymać wzór (14) bez żadnych ograniczeń.
5° Wzór na dopełnienie. Jeśli we wzorze (14) przyjmiemy b — 1—a (dla O < a < 1), to wobec (5) i (11) otrzymamy związek [por. 408 (30)]
(15)
7t
sin oiz '
Wzór ten nazywa się wzorem na dopełnienie.
Ponieważ r(a)> 0, więc dla a = j otrzymujemy stąd
(16) >(■!■) =
Jeśli w całce
/
podstawimy z = x2, to ponownie otrzymamy wartość całki Eulera-Poissona
2 '
6° Jako zastosowanie wzoru na dopełnienie obliczymy, za Eulerem, wartość iloczynu
gdzie n jest dowolną liczbą naturalną.