0647

0647



649


$ 5. Całki Eulera

spełnione są wszystkie warunki podane we wniosku z ustępu 521; funkcja ta jest ciągła (i przy tyra dodatnia) dlay^Oif^O, i całki

QO    J

f-1 J y**"1 e-^dy = r(a + b)

oraz

00

y+6-1 e~y f t*-1 e~,y dt = r(a) yP~x e~y o

również są funkcjami ciągłymi: pierwsza — zmiennej t dla t ^ O, druga — zmiennej y dla y > 0. Powołanie się na wspomniany wniosek uzasadnia zmianę kolejności całkowania, a zatem i wzór (14) w przypadku gdy a > 1 i b > 1.

Jeżeli zaś wiemy tylko, że a > O i b > O, to — zgodnie z tym co udowodniliśmy —jest

B (a + 1, b+1) =


r(a + l)r(i+l) r(a+b+2)


Stąd wykorzystując wzory redukcyjne (2), (2') dla funkcji B i (9) dla funkcji r — łatwo można znów otrzymać wzór (14) bez żadnych ograniczeń.

5° Wzór na dopełnienie. Jeśli we wzorze (14) przyjmiemy b — 1—a (dla O < a < 1), to wobec (5) i (11) otrzymamy związek [por. 408 (30)]

(15)


r(fl)r(i-a)


7t

sin oiz '


Wzór ten nazywa się wzorem na dopełnienie.

Ponieważ r(a)> 0, więc dla a = j otrzymujemy stąd

(16) >(■!■) =

Jeśli w całce

/

cr vz

podstawimy z = x2, to ponownie otrzymamy wartość całki Eulera-Poissona

2 '


|/«

6° Jako zastosowanie wzoru na dopełnienie obliczymy, za Eulerem, wartość iloczynu

gdzie n jest dowolną liczbą naturalną.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
71 (125) 71 Przekrój łamany obrócony można wykonać wówczas, gdy spełnione są następujące warunki: -
Uczciwek117 tych obwodów nie spełnia jednak wszystkich warunków koniecznych dla uniemożliwienia poja
dsc00514 (4) peratur stały. Platyna spełnia najdokładniej wszystkie warunki stawiane materiałom do b
Slajd4 GDY JEDNOCZEŚNIE SPEŁNIONE SĄ NASTĘPUJĄCE WARUNKI: •    obciążenie poszczególn
Wyróżniki obiektowości O obiektowości mówimy wtedy, gdy spełnione są następujące 4 warunki: 1.
15761 str089 (5) a g U. ODWZOROWANIA KONFOREMNE 89 jeżeli spełnione są dwa warunki: m punkcie równok
mechanika142 tycznej, bo stolik jest nieważki Spełnione są zatem warunki twierdzenia 3.25. Schemat o
241 § 1. Badanie przebiegu funkcji dla których spełnione są już warunki postaci (6). Na mocy udowodn
24 luty 07 (53) Jeśli spełnione są równocześnie warunki (3.69) / (3.70), wówczas oś obrotu jest głów
KORZENIE SĄ ODPOWIEDZIALNE ZA POBIERANIE WODY 1 SOLI MINERALNYCH Podstawową funkcją korzeni jest

więcej podobnych podstron