15761 str089 (5)

a

g U. ODWZOROWANIA KONFOREMNE

89

jeżeli spełnione są dwa warunki:

m punkcie równokątne z zacho-w każdym punkcie regularnym

nie obszar D na Z),, a funkcja ₂, to funkcja złożona g[/(z)] ma jest funkcja jednolistna /(z), y obszar D, daje się efektywnie :: kiedy dwa obszary D i D_{ są ' jednospójnych odpowiedź na i 1851 przez Riemanna.

D na obszar D_x tak, że punkt

ment liniowy (z₀, 0) przechodzi izący z punktu z₀ pod kątem 0 cy z punktu vr₀ pod kątem <p.

D, którego brzeg B zawiera olo | W⁷! < 1 tak, aby dowolnie •nt liniowy (0,<p) kola | W\ < 1.

zar D jest wnętrzem krzywej aniem ciągłości na brzegi obity przekształcenie określone

konforemnie całą płaszczyznę kształcenia (11.2) jest również mych jest również przekształ-

Szczególnym przypadkiem

(11.3)

oraz przekształcenie postaci

(11.4)

odwzorowania (11.2) jest przekształcenie liniowe: w = az + b,    aź 0

zwane inwersją względem kola jednostkowego lub krótko inwersją. Przekształcenie (11.4) stosujemy często, gdy chodzi o przekształcenie płaszczyzny w siebie tak, aby punkt oo przeszedł na punkt 0 i odwrotnie.

Twierdzenie 5. Każda funkcja homogruficzna (11.2), w przypadku gdy c # 0, może być napisana >e postaci

a bc — ad 1

c

Innymi słowy, każda homografia (11.2), gdy c ¥= 0, jest złożeniem:

„    .    d

1 przesunięcia t = z Ą--,

c

4

2° inwersji T = —,

bc—ad    a

3 przekształcenia liniowego w =-5— Tą--.

c    c

Symetria względem okręgu lub prostej. Dwa punkty p i q nazywamy symetrycznymi względem danej prostej, gdy prosta ta połowi odcinek pq i jest do niego prostopadła. Dwa punkty p i q nazywamy symetrycznymi względem okręgu o równaniu

(11.5)    \z — z₀\ = r,

jeżeli 1° leżą na tej samej półprostej wychodzącej ze środka z₀ danego okręgu, tzn.

arg(p-zo) = arg (q-z₀),

2° iloczyn ich odległości od środka okręgu równa się kwadratowi promienia, tzn.

lp-Zol' l4-z₀l = ^r2-

Uwaga. Środek z₀ okręgu (11.5) oraz punkt 00 nazywamy również punktami symetrycznymi względem okręgu (11.5).

W szczególności punkty z oraz r²/ż są punktami symetrycznymi względem okręgu |z| = r, a punkty z oraz 1/z — punktami symetrycznymi względem okręgu jednostkowego.

Twierdzenie 6. Każda homografia (11.2) przekształca okrąg (właściwy lub niewłaściwy) w> okrąg, a punkty symetryczne względem okręgu w punkty symetryczne względem jego

obrazu.

Twierdzenie 7. Istnieje dokładnie jedno odwzorowanie homograficzne przekształcające trzy dowolne, różne punkty z_k płaszczyzny (z) położone w skończoności w trzy dowolne,