0046

48

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

ści). Każda taka prosta przecina krzywą w drugim punkcie (x, y), którego współrzędne są funkcjami wymiernymi zmiennej t. Stąd bierze się podstawienie:

|/ax² + bx + c = t± ]/a x .

283. Przykłady. Znamy już dwie całki podstawowe [269, 9) i 12); 268]:

f ^dx — ln\x+y/x²i:a² [+C. f— ^dx = arcsin —+ C.

^J y_X²±a^{2    J} ]/a²-x²    «

należące do całek rozpatrywanego typu. Wychodząc z nich można obliczyć także inne całki. f dx

1) J '-^====-. Przy obliczaniu tej całki będziemy rozróżniali dwa przypadki: <x>0 i a<0. Jeśli a>0, to całkę można łatwo przekształcić w jedną z całek podstawowych (przy p/x = ±a²)

dx

1

V*

ln

*+

+c.

Można pomnożyć jeszcze argument logarytmu przez ot, przez co wprowadzimy dodatkowy składnik 1

—j=-Ina; odbije się to więc tylko na C. Otrzymamy ostatecznie V*

(6)

/

dx

}/a,x²+P ]/tx

= —^|<xx+j/a (otx²+p) | + C' (« > 0) .

Jeśli zaś «<0, a więc a = —1*|, pierwiastek napiszemy w postaci ]//?— |a|*^J. Na to, by pierwiastek ten mógł mieć w ogóle wartości rzeczywiste, trzeba założyć, że /?> 0. Całka przekształca się w drugą całkę podstawową (przy PI|a| = a²) i

(7)

l^arcsin (l/W-*)+C (« ^J i/<x*²+0    |/|*|    \r P )

:« < o).

Wiele innych całek sprowadza się za pomocą elementarnych chwytów do całek (6) i (7). Na przykład 2)Jj/ax² + p dx całkuje się przez części:

■ dx =

f y'ax²+/3 dx = x\/otx²+p — f xd\/<xx²+P — x\ftxx²+f} - f— ^ax -J    J    ^J yax²+f}

dx y<x x²+p

= x \/ax²+P — f (^ajg    dx — x \/<xx²+P — f \^/otx²+fl dx+f) f ^dx

^J \/«x²+p    ^J    J

Po prawej stronie otrzymujemy znowu szukaną całkę. Przenosząc ją na lewo i dzieląc obie strony równości przez 2 otrzymamy

(8)

f \'otx²+P dx = -i-* \f»x²+P + -\p f — ^{2    2 J} yt

dx

<xx²+p

Aby otrzymać ostateczny wynik, trzeba wyrazić ostatnią całkę ze wzoru (6) lub (7) w zależności od tego czy «>0, czy też at<0.