86608 P1111271

48

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona')

Każda taka. prosta przecina krzywą w drugim punkcie (x, y), którego współrzędny funkcjami wymiernymi zmiennej t. Stąd bierze się podstawienie:

y ax² 4- frx + c = i± \fa x .

283. Przykłady. Znamy już dwie całki podstawowe (269, 9) i 12); 268):

1

dx

ln

|je-ł-yx*=fc«^a |+C, p

H — -arcsin^+ę.

a__Yi    a

należące do całek rozpatrywanego typu. Wychodząc z nich można obliczyć także inne całki. dx

Jeśli «>O_f to całkę można łatwo przekształcić w jedną z całek podstawowych (przy P/oc = io^ł)

Przy obliczaniu tej całki będziemy rozróżniali dwa przypadki: <x>0 i a<0.

1— f

+

A

⁼ife^,nl^x+i/*^ł+«i^+c

Można pomnożyć jeszcze argument logarytmu przez ot, przez co wprowadzimy dodatkowy składnik

J-=-' Ina; odbije się to więc tylko na C. Otrzymamy ostatecznie V«

dx

r ...    = —j=-\»x+\/oc {<xx² -h P) \-\-C' (a > 0) .

y<XX* + p    y Ot

Jeśli zaś a<0, a więc <x = — |oc|, pierwiastek napiszemy w postaci |//?—|a|jc². Na to, by pierwiastek ten mógł mieć w ogóle wartości rzeczywiste, trzeba założyć, że /?>0. Całka przekształca się w drugą całkę podstawową (przy /?/(<%! == a*) i

C7)

1

arc sin

in    *) +C («<0).

Wiele innych całek sprowadza się za pomocą elementarnych chwytów do całek (6) i (7). Na przykład 2)J[/<xx* P dx całkuje się przez części:

f VOCX² -+- P dx = AT y <XX* P — f x d y<xx* + p = x y<xx* + p — f ■

^    j    j ^_axi₊pm

B i */<***+£ — f    dx — i |/«jć^r+?' — |    |

f y<xx*-\-p    ^J    j

dx W

dx

\/oix²+P

Po prawej stronie otrzymujemy znowu szukaną całkę. Przenosząc ją na lewo i dzieląc obie strony równości przez 2 otrzymamy

<«>

dx

y^<xx² ~h p

•A.|>y otrzymać ostateczny wynik, trzeba wyrazić ostatnią całkę ze wzoru (6) lub (7) w zależności od te-go czy a>0, czy też «<0.

3) Całki

^(a) /

dx

xy<xx*+p

(b) f~ - ^dx    (c) f-

^J x² yocx²+p    ^J f**²

dx

(* x¹+p)³¹²

sprowadzają się przez proste podstawienie x = —, dx == —p- dr do znanych już całek. Dla ustalenia uwagi załóżmy, że «>0 i />0. Otrzymujemy

(a)

/•

dx

■=~ f ^dl .

^J i/a+pt²

X ]/<XX² + p

Dalsze obliczenia wykonujemy według wzoru (6) lub (7) w zależności od znaku p. dx

(b)

X² ^(XX²+ P

tdt

iS+pt²

fcfl +C = - fepB +c.

p    p*

Analogicznie

(c)

[—4*— = - f

J (ax²+P)³¹² J

t dt _ J_ _    2__= — •    *

(oc+/j/²)^3/2 p ĘgĘm    ~ $ )/«x²+p

+ C.

4) Przekształcenia tożsamościowe wyrażenia podcałkowego sprowadzają następujące całki do całek już obliczonych:

^(a) /

x²dx

^ocx²+P

, (b) J

|/<XX² + 0

dx

, (c) J

(«x² + /3)³'²

t/jc.

Mamy:

(a)

i    i jl r    ,/,*i r II®Fdx-1 r —1

P    * I V«x²+P * ^J    J V«x²

V«x²+P

lub na mocy wzoru (8)

dx ^ax² + P

itd. (patrz 1)],

y'^lax²+/J

f

[ pil    f—

g i/atjf² + fi    2«    2ot yotx²+/l

1 1    dx = <x f -^X±^X—+B f

jg v \/n V² 4- /?    M |/«.X² + 0    P

(b)

djr

pierwsza całka może być obliczona od razu, druga była obliczona w 3); wreszcie

(ć\    f Ł Ł Ml r ^dx ł f ^dx

^{K )}    j (<xx²+py>² cc J yfcx*+F « | <.«x²+p)³'²

[patrz 1) i 3)].

5) Jeśli pod pierwiastkiem znąjduje się pełny trójmian kwadratowy ax²+bx+c, wygodnie jest sprowadzić go przez podstawienie liniowe do dwumianu. Wydzielamy w tym celu pełny kwadrat

ax²+bx+c m [(2«x+ó)²+4ac—ó²]

4a

i przyjmujemy / «•* 2ax+b. W ten sposób na przykład otrzymamy ze wzorów (6) i (7) dla o>0 4 Rachunek różniczkowy