1010

1.2. Elementy niewłaściwe

Spośród wymienionych w poprzednim podrozdziale przykładów wyodrębnimy następujące:

2.    anb = 0, gdy proste a i b są równoległe,

3.    an 0, gdy płaszczyzny a i fi są równoległe,

6. a n a = 0, gdy prosta i płaszczyzna są równoległe.

Podane zapisy można zredukować po wprowadzeniu abstrakcyjnych pojęć punktu „w nieskończoności” i prostej „w nieskończoności”. Uzupełnilibyśmy w ten sposób geometrię euklidesową o tzw. elementy niewłaściwe (punkt niewłaściwy i prosta niewłaściwa), wprowadzone przez geometrię rzutową.

Wprowadzenie elementów niewłaściwych pozwala zachować schematy rozwiązywania wielu problemów przestrzennych w sytuacji, kiedy proste i płaszczyzny są wzajemnie równoległe lub pozostają równoległe do rzutni układu odniesienia.

Załóżmy zatem, że dwie proste a i b równoległe są „prawie równoległe” i przecinają się w' punkcie P nieskończenie dalekim na kierunku tych prostych, oznaczone a r\b = P'* na rys. 2, oraz prosta a i płaszczyzna a równoległe mają punkt wspólny (w nieskończoności, na kierunku prostej a), który jest punktem przebicia płaszczyzny a przez prostą a, oznaczone a n cc = na rys. 3.

Rys. 2

Rys. 3

1.3. Rodzaje odwzorowań elementów przestrzeni na płaszczyźnie rysunku

Wszystkie rodzaje odwzorowania mające na celu przedstawienie na płaszczyźnie rysunku obiektów przestrzennych (trójwymiarowych) posługują się metodą rzutowania (projekcji). Wyodrębnimy trzy z nich, stosowane W'e współczesnej technice jako zapis.

Obierzmy w przestrzeni płaszczyznę ;r (płaszczyzna rysunku - rzutnia), punkt S nie leżący na płaszczyźnie n_y pęk prostych o wierzchołku w punkcie S oraz punkty przestrzeni A, B_y C, D... (rys. 4a).

Proste pęku S, tj. promienie rzutujące, przechodząc przez punkty przestrzeni A, B, C, D... przebijają rzutnię n w punktach A'_y B\ C',...

Konfiguracja płaska A\ B'_y C',... jest zatem rzutem (obrazem) na płaszczyźnie TT konfiguracji przestrzennej A, B, C, D...

Ponieważ punkt D leży na płaszczyźnie równoległej do rzutni n i przechodzącej przez środek rzutowania S, jego obrazem jest więc punkt niewłaściwy £T (promień rzutujący d || n).

Rzut środkowy umożliwia konstrukcję obrazu perspektywicznego, np. wie-lościanu, dając obraz, w jakim spostrzega oko.

1.3.2. Rzut równoległy (aksonometria)

Obierzmy w przestrzeni płaszczyznę n (płaszczyzna rysunku - rzutnia), prostą k nie należącą do n (kierunek rzutowania) oraz punkty przestrzeni A, B, C,... (rys. 5a).

Promienie rzutujące, tj. proste kierunku k_y przechodząc przez punkty przestrzeni A, B, C,... przebijają rzutnię w punktach A', BC_y... które tworzą obraz płaski konfiguracji przestrzennej A, B_y C,...

»

21