Struik 084

na technicke vysoke śkole v Braunschweigu, vypracoval presnou teorii iracionalit. Ve dvou małych svaze5cich Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872) a Was sind und was sollen die Zahlen? (1882) vykonal v modern! mate-matice to, co pro reckou matematiku Eudoxos. Mezi „Df-dekindovymi rezy“, kterymi jsou v modern! matematice (aź na śkolu Kroneckerovu) definovśna iracionaln! cisla, a starou teorii Eudoxovou, jak je vyjćLdrena v pśte knize Euklidovych Z&kladu, je velmi mnoho podobneho. Cantor a Weierstrass podali aritmetickś definice iracio-nślnich cisel, ktere se od Dedekindovy teorie ponekud odliśuj!, avsak zakl&daj! se na podobne myslence.

Nejvetsim kacirem vsak byl v Kroneckerovych o^ich Georg Cantor. Cantor, ktery od roku 1869 do roku 1905 u5il v Halle, nen! znśm pouze jako tvnrce sve vlastn! teorie iracionślmch cisel, nybrż takś proto, źe vybudoval teorii mnoźin. Touto teorii vytvoril Cantor uplne novou oblast matematickeho bśdśn!, kterś je schopna, prijme-me-Ii jej! zdkladn! predpoklady, uspokojit nejjemnejs! ndroky na presnost. Cantorovy publikace vychazely od roku 1870 po mnoho let; v roce 1883 uverejnil sve d!lo Grundlagen einer allgemeiner Mannigfaltigkeitslehre. V techto pracich vybudoval Cantor teorii transfinitnich kardinSlnich cisel, zalożenou na systematickem matema-tickśm zvladnut! aktuślniho nekonecna. Priradil nejmens! transfinitn! kardinśln! cislo N (alef) spocetne mnozine; kontinuu, było prirazeno vyss! transfinitn! cislo, a tak było możne vytvorit aritmetiku transfinitnich cisel. kterd je analogickd obycejne aritmetice. Cantor definoval też transfinitn! ordinśln! cisla, kterś vyjadruj! zpusob, podle nehoż jsou usporśdany nekonecne mnożiny.

Tyto objevy G. Cantora były pokracovan!m starych scholastickych spekulac! o podstate nekonecna; Cantor si toho byl dobre vedom. Obhajoval neomezene uznśn! ak-tuślniho nekonecna pomoc! argumentu svateho Augustina, musel se vsak sam obhajovat proti odporu mnoha matematiku, kter! se zdrśhali chśpat nekonecno jinak neż jako nekonećny proces. Vedouc!m odpurcem Cantorovym byl Kronecker, ktery ve stejnśm procesu aritmetizace mate-matiky zastupoval uplne protichudny sm§r. Cantor dosśhl nakonec plneho uznśnl, kdyź se ponenśhlu prosadil mi-morńdny vyznam jeho teorie pro zfiklady teorie reSlnjich funkci a topologie, a to zvldste pote, kdyż Lebesgue obo-hatil v roce 1901 teorii mnożin svou teorii miry. V teorii transfinitnich Cisel zustaly logicke obtiźe, a tak se obje-vily paradoxy treba od Burali-Forti a od Russella. To vedlo opet k ruznym smerum v zśsadnim postoji k za-kladum matematiky. Spor mezi formalisty a intuicionisty ve 20. stoleti byl pokracoyśnim sporu mezi Cantorem a Kroneckerem na nove urovni.

17. Soucasne s timto pozoruhodnym vyvojem algebry a analyzy nastupuje stejne pozoruhodny rozkvet geometrie. Mużeme ho sledovat uź od dob Mongeovy ueitelske cin-nosti, v niż jsou obsażeny koreny „synteticke" i „al-gebraicke" metody v geometrii. V pracich Mongeovych żaku se obe metody oddelily; synteticka metoda smero-vala k projektivni geometrii, algebraickś metoda pak smerem k nasi moderni analyticke a algebraicke geometrii. Projektivni geometrie se stavń samostatnou discipli-nou Ponceletovou knihou z roku 1822. Jak tomu casto byva u zakladnich objevu, vznikly i zde prioritni spory, protoże Ponceletovi vyvstal souper v Josephu Gergonnovi, profesorovi v Montpellier. Gergonne uverejnil nekolik vyznamnych prąci o projektivni geometrii, v nichż za-roveń s Ponceletem odhalil vyznam duality v geometrii. Tyto prace vysly v Annales de math§matiques, v prvem cistę matematickem casopise. Jeho vydavatelem byl Gergonne; ćasopis vychazel od roku 1810 do roku 1832.

Typicky pro Ponceletuv zpusob mysleni byl v§ak jiny princip, totiż princip spojitosti, ktery mu umożnil odvo-zovat vlastnosti nejakeho utvaru z vlastnosti utvaru ji-neho. Vyjadril svCij princip takto:

„Kdyż urcity obrazec vznikne z nejakfeho jinśho obrazce pomoc! spojitd zmeny a ten to obrazec je prśv6 tak obecny jako prvy, lze vlastnost dokSzanou pro prvy obrazec bez dalślch ńvah prenśst i na druhy“.

Tento princip se musel poużivat velmi opatrne, protoże jeho formulace nebyla ani zdaleka presna. Teprve moderni algebra była schopna presneji stanovit okruh platnosti to-ho principu. V rukou Ponceleta a jeho skoly vsak vedl k zajimavym, novym a presnym vysledkum, zvlśste kdyż se ho użilo też pri prechodu od realnych yeliCin ke kom-

173