img053 (26)

58

Znaczenie twierdzenia 3.4 z punktu widzenia praktyki obliczeń numerycznych jest następujące. Jeżeli dla zadanego punktu początkowego x₍₀₎ ciąg (*(/)),-_eN otrzymany zgodnie

z algorytmem iteracji prostej posiada „wyraźnie” wyodrębniające się podciągi zbieżne, to zbiór punktów granicznych tych podciągów, co jest równoważne ze stwierdzeniem „punktów będących punktami skupienia ciągu (x_w)_/eN”, jest podzbiorem niezmienniczym odwzorowania F(-). Jeżeli ciąg (r_fflV_fN jest ciągiem ograniczonym, to zbiór punktów granicznych tego ciągu zawiera co najmniej jeden element. A zatem, jeżeli dla pewnego punktu początkowego *₍₀) dla iteracji (3.67) otrzymany ciąg (x_w)-_£N jest ciągiem ograniczonym, to zbiór

punktów granicznych tego ciągu (zbiór punktów skupienia tego ciągu) jest podzbiorem niepustym i będącym pewnym podzbiorem niezmienniczym odwzorowania F(-).

Możliwość numerycznego wyznaczenia rodziny podzbiorów niezmienniczych sprowadza się do problemu analizy numerycznej ciągów (x^)_jsN dla różnych wektorów początkowych JC(₀) w celu wydzielenia podciągów zbieżnych wraz z ich punktami skupienia będącymi punktami granicznymi. Należy tu nadmienić, że w szeregu interesujących z praktycznego punktu widzenia zagadnieniach przebieg iteracji jest bardzo skomplikowany i analiza zbiorów granicznych ciągów nie jest zadaniem łatwym z powodu ich złożonej, wielopunk-towej budowy.

Następujące twierdzenie Brouwera dotyczy zagadnienia istnienia punktów stałych dla odwzorowania F(-) w ograniczonym podzbiorze w R”.

Twierdzenie 3.5 (Brouwera [15])

Niech Z będzie podzbiorem R" homeomorficznym z kulą jednostkową K = |x e R" : ||    | < lj. To znaczy, istnieje odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne i cią

głe zbioru Z na kulę K i takie, że odwzorowanie odwrotne jest też odwzorowaniem ciągłym.

Niech F(-) będzie odwzorowaniem ciągłym przestrzeni R" w siebie takim, że F(-) odwzorowuje zbiór Z w siebie, F(z) c Z . Wtedy istnieje taki punkt x* e Z, że F(jc*) = x*. ■

Należy zauważyć, że z twierdzenia Brouwera nie wynika jednoznaczność punktu stałego. Odwzorowanie F(-) może posiadać w podzbiorze Z, o którym mowa w twierdzeniu 3.5 wiele punktów stałych.

Jak wynika z treści twierdzenia Brouwera, podstawowym problemem jest tu znalezienie zbioru Z homeomorficznego z domkniętą kulą jednostkową w R” i takiego, że dane odwzorowanie F(-) przekształca ten zbiór w siebie. Jeżeli na podstawie analizy numerycznej lub analizy jakościowej można określić pewien zbiór Z, o którym jest mowa w twierdzeniu Brouwera, to odwzorowanie F(-) ma przynajmniej jeden punkt stały, odnośnie którego wiadomo, że jest zawarty w tym zbiorze. Oczywiście, może być znana cała rodzina podzbiorów przestrzeni R" spełniających założenia twierdzenia 3.5. Z punktu widzenia możliwości analizy numerycznej znalezienie nawet jednego takiego podzbioru nie jest jednak ogólnie zadaniem łatwym do zrealizowania.

Twierdzenie Brouwera ma nieomal bezpośrednie uogólnienie dotyczące odwzorowań ciągłych przestrzeni Banacha, a więc odnoszące się również do odwzorowań ciągłych przestrzeni nieskończenie wymiarowych, w tym przestrzeni funkcyjnych. Uogólnienie twier-