img447

Weźmy pod uwagę funkcję J'(x) - x³ + 2x²    x    V3. Widzimy, Jm

./'(O) = n/3 < 0, a/(1) =2    n/3 > O. Rozważmy przedział (O, 1). Funkcja / je*»t

ciągła w tym przedziale (jako wielomian jest ciągła nawet w zbiorze /?), ponadto /(O) ■ /(1) < 0, więc spełnione są założenia ostatniego wniosku. Zatem ta funk cja przyjmuje każdą wartość pomiędzy - a 2 - V3, w szczególności warto¹'/ równą 0. Tak więc istnieje taka liczba ce(0, 1), dla której f(c) = O, co oznac/.i, że równanie f(x) = O ma na pewno jedno rozwiązanie w przedziale (0, 1). Tym samym równanie x³ + 2x^z - x - V3 = 0 ma przynajmniej jedno rozwiązaniu w zbiorze R.

PRZYWAB 25.

Zbadajmy, ile rozwiązań ma równanie log x = 2 - x. Wyznaczmy rozwiązania tego równania z dokładnością do 0,01.

Jest to równanie, którego nie umiemy rozwiązać algebraicznie żadnym znanym nam sposobem. Spójrzmy na jego interpretację graficzną:

Widać, że równanie to ma tylko jedno rozwiązanie i jest nim liczba w przedziale (1,2). Niestety, nie potrafimy jej dokładnie obliczyć.

W ' "lu obliczenia jej przybliżonej wartości rozważmy funkcję

f{x) log x + x- 2, x g <1,2).

Obwiązanie równania jest miejscem zerowym tej funkcji. Aby znaleźć jego przybliżoną KUMikW, podzielimy przedział (1, 2) na dwa podprzedziały: (1; 1,5) oraz <1,5; 2)

I l|iłrtW(lzimy, w którym z nich znajduje się nasze rozwiązanie, i Ollllr /.imy (np. używając kalkulatora): /(1) = -1 oraz /(1,5) = -0,32391, m 0,30103. Weźmy pod uwagę przedział <1,5; 2). Widać, że funkcja /J«t ciągła w tym przedziale, na jego krańcach przyjmuje wartości różnych fdaków, czyli spełnia założenia ostatniego wniosku w tym przedziale. Rozumują* |rtk w poprzednim przykładzie, możemy się łatwo przekonać, że wartość lito lunkcja przyjmuje w punkcie należącym do przedziału (1,5; 2). Ponieważ Wuj* n zerowe jest tylko jedno, więc na pewno nie może ono już być liczbą I przedziału <1; 1,5).

WMmy teraz pod uwagę funkcję w przedziale <1,5; 2). Podzielmy teraz ten przelani na podprzedziały: <1,5; 1,75) oraz <1,75; 2). Ponieważ /(1,5) = » 0,32391, /(1,75) = -0,00696, /(2) = 0,30103. więc, rozumując jak JMipizednio, wnioskujemy, że miejsce zerowe musi być w przedziale (1,75; 2).

Pnnlępując analogicznie, otrzymujemy kolejno przedziały: (1,75; 1,875); (1,75; 1,8125); (1,75; 1,78125), (1,75; 1,765625) (sprawdź to!). Ostatni Wynik wskazuje, że rozwiązaniem jest liczba w przedziale (1,75; 1,765625), I Więc jej przybliżeniem dziesiętnym z dokładnością do 0,01 będzie liczba 1,/6.

lilęm dane równanie ma tylko jedno rozwiązanie x = 1,76 (z dokładnością do

0,01).

Tiki sposób rozwiązywania równań jest często stosowany w obliczeniach | komputerowych w przypadku takich równań, których nie daje się rozwiązywać fffptodami elementarnymi.

Podamy teraz kolejne ważne twierdzenie. Mówi ono o przyjmowaniu przez funkcję wartości największych i najmniejszych. Rozpocznijmy nasze rozważania od przykładów.

Weźmy na początek funkcję f(x) = x² - 2x, xe<0, 4).