Obraz
6 (143)

nywaniem różnego typu czynności. Te czynności mogą być początkowo jeszcze chaotyczne, mogą mieć na celu jakąś próbną tylko eksplorację tej sytuacji. Ale zawsze jakoś w niej działamy. Na stopniu elementarnym coś obliczamy, porządkujemy jakiś zbiór, wykonujemy działanie na jakichś zbiorach, porównujemy co do wielkości dwie liczby, wybieramy pomocnicze punkty, prowadzimy pomocnicze proste, wyróżniamy w zawiłej konfiguracji jakąś część, jak sądzimy, szczególnie ważną, przekształcamy figurę geometryczną, odwzorowujemy, oznaczamy, symbolizujemy itp. Na poziomie wyższym operacje stają się bardziej skomplikowane, ale i one opierają się, jak na rusztowaniu, na pewnym zespole elementarnych, podstawowych czynności myślowych; są one złożonymi bardzo kombinacjami tych podstawowych czynności.

Operatywny charakter matematyki umożliwia w jej zastosowaniach w różnych dziedzinach coraz szersze wykorzystanie maszyn do rozwiązywania zagadnień nieraz pozornie bardzo trudnych do ujęcia w czynnościowe schematy. Z drugiej strony rozwój maszyn wpływa też na szczególny rozwój pewnych działów matematyki i na kierunek podejmowanych badań.

Pojęcie formalizacji systemu aksjornatycznego jest także wyrazem uświadomienia sobie „operatywności” matematyki. W pięknym artykule „O matematyce”¹ jeden z najwybitniejszych współczesnych matematyków radzieckich A. N. Kołmogorow pisze: „wyniki, które mogą być uzyskane w granicach jednej teorii dedukcyjnej, mogą być również otrzymywane za pomocą rachunku przeprowadzonego według określonych raz na zawsze reguł”. Stąd wielkie znaczenie teorii algorytmów i badań nad problemem ogólnej rozwiązalności algorytmicznej zagadnień matematycznych oraz perspektywy wykorzystania aparatów matematycznych i w teorii.

Oczywiście algorytmem nie można wyczerpać możliwości żywego umysłu i byłoby np. nonsensem wysnuwać z tego, co powiedziałam, wnioski sugerując jakieś przesadne „algorytmizowanie” matematyki elementarnej i zaprawianie myśli ucznia do mechanicznych a priori określonych czynności. Maszyna może „działać” za człowieka, jeżeli on dla niej opracuje program; dużego teoretycznego przygotowania ze strony człowieka wymaga „myślenie” maszyny. Uczniowie od początki zaprawiani tylko do sprawnego posługiwania się gotowymi schematami rachują może dobrze,

Ijle rozumują źle, są bezradni wobec nowych sytuacji. Mówiąc o tych spra-|Mh, chcę podkreślić natomiast fakt bardzo ważny dla dydaktyki: myślenie L dziedzinie matematyki nie jest kontemplacją, ale dynamicznym syste-Lem - ostrzej niż w innych dziedzinach - sprecyzowanych w świadomości [operacji Toteż jest duża doza słuszności w lapidarnym określeniu: Les \0themtiques son moins savoir que savoir faire (matematyka - to w mniej-[szym stopniu wiedzieć, co umieć działać)².

[2. Myślenie jako działanie

Zgodnie z naszą metodą skonfrontujemy te obserwacje na temat I matematycznego działania z psychologicznymi danymi na temat myślenia w ogóle.

2.1. Na pytanie, co jest źródłem abstrakcyjnych operacji matematycznych znajdujemy odpowiedź w psychologii działania, która w przeciwieństwie do psychologii sensualistyczno-mechanicznej wysuwa na pierwszy plan w procesie poznania działający podmiot, działające dziecko, działającego ucznia. Upraszczając koncepcję sensualistyczno-mechanicznej psychologii można powiedzieć, że w jej pierwotnym, zarzuconym już ujęciu modelem świadomości jest klisza fotograficzna, na której się rzeczywistość odbija bez udziału lub z nieistotnym udziałem podmiotu. Z takiego rozumienia wynikają też wnioski dydaktyczne: stwarzanie warunków dogodnych dla tego biernego odbicia, mechaniczne powtarzanie tego samego, wzory rozumowania przekazywane uczniowi w gotowej, od początku doskonałej formie. Stąd przesadna obawa przed popełnianiem przez ucznia błędu (możliwość utrwalonego odbicia błędnej sytuacji), przed prowadzeniem go drogą prób i błędów: stąd wyolbrzymiona rola wykładu i pokazu w nauczaniu.

Psychologia działania, przeciwnie, wysuwa na plan pierwszy „sprzężenie zwrotne” występujące między podmiotem działającym w rzeczywistości i będącym jej cząstką, a tą rzeczywistością. T. Tomaszewski w swojej książce, o której już wspomniałam, przypomina, że - zgodnie

219

1

A. N. Kołmogorow: O matematyce, PWN, Warszawa, 1955, s. 72.

2

W. Servais: Raport generał surl'enseigneneent des mathemariąucs dans les ecoles stcondni-res, XIX conffrence internationale de 1'instruction publique, B1E, Geneve 1956, s. 140.