img020 (49)

24

ków o wektor kolumnowy b wyrazów wolnych. Realizacja ciągu przekształceń elementarnych algorytmu eliminacji Gaussa prowadzi do przekształcenia macierzy A_r w macierz [/:x ], gdzie / jest macierzą jednostkową o wymiarze n x n. Należy przy tym odnotować, że przekształcenie A_r—> [/:.v*] wynikające z realizacji ciągu przekształceń elementarnych algorytmu Gaussa jest odwracalne, gdyż każde z przekształceń elementarnych jest odwracalne. Realizując zatem ciąg odwrotny przekształceń, otrzymuje się w wyniku przekształcenie [F:x ]—>• A_r. Nietrudno teraz zauważyć, że wykonując ciąg operacji elementarnych algorytmu Gaussa na macierzy rozszerzonej [A:/], gdzie / jest n x w-wymiarową macierzą jednostkową otrzymuje się w rezultacie macierz    [2, 6]. A zatem, jeżeli zostanie wyko

nany na macierzy jednostkowej / o wymiarze n x n ciąg elementarnych operacji algorytmu eliminacji Gaussa przekształcających macierz A w macierz jednostkową /, to w wyniku macierz /zostanie przekształcona w macierz^^-1. Algorytm eliminacji Gaussa można zatem wykorzystać do wyznaczenia macierzy odwrotnej do danej nieosobliwej macierzy A. Liczba wymaganych przez algorytm dla wyznaczenia macierzy Adziałań mnożenia i dzielenia wynosi rł [6], a więc trzykrotnie więcej niż wymaga otrzymanie rozwiązania układu równań A-x = b. W praktyce nie wyznacza się zatem macierzy A~^l i nie korzysta ze wzoru

x*=A~^l-b    (2.32)

w celu wyznaczenia rozwiązania układu równań. Wyznaczenie macierzy AT^X i wykorzystanie wzoru (2.32) jest jednak uzasadnione, gdy dany układ równań jest rozwiązywany wielokrotnie przy nie zmienionej macierzy A i dla wielu różnych wartości wektora wyrazów wolnych b.

Wyznaczenie rzędu macierzy. Rozszerzenie zastosowania algorytmu eliminacji Gaussa

Działania elementarne na wierszach macierzy realizowane w etapie eliminacji w przód algorytmu eliminacji Gaussa można zastosować dla wyznaczenia rzędu dowolnej macierzy prostokątnej A. W tym celu wykonuje się przekształcenie macierzy A do postaci macierzy wierszowej schodkowej (lub równoważnie, kolumnowej schodkowej), realizując ciąg działań elementarnych na wierszach (na kolumnach) macierzy A w sposób taki, jak to opisano dla pierwszego etapu algorytmu eliminacji Gaussa.

Określenie macierzy o postaci wierszowej schodkowej (lub kolumnowej schodkowej) jest bezpośrednim rozszerzeniem określenia macierzy trójkątnej, górnej lub dolnej, ze względu na jedną z wybranych do rozważań przekątnych [6],

Rząd r macierzy prostokątnej A o wymiarze m x n (dowodzi się, że 0 < r < min {m, n}, [2, 6]) otrzymuje się w wyniku działań algorytmu jako liczbę niezerowych wierszy (lub w sformułowaniu kolumnowym, kolumn) otrzymanej macierzy prostokątnej przekształconej do postaci macierzy schodkowej. Zastosowanie ciągu działań elementarnych opisanych dla etapu eliminacji w przód algorytmu Gaussa w celu wyznaczenia rzędu macierzy jest przedstawione szczegółowo w [6],

Na podstawie algorytmu sprowadzania macierzy prostokątnej dowolnego rzędu do postaci macierzy wierszowej schodkowej otrzymuje się następnie bezpośrednie rozszerzenie algorytmu metody eliminacji Gaussa pozwalające na wyznaczenie rozwiązań danego