22 (420)

2. Metoda oznaczona

Na podstawie macierzy współczynników A oraz wektora wyrazów wolnych L tworzymy macierz blokową B = [A : L]. Zakładamy przy tym, że /?(B) = R(A) = n (macierz    jest wierszowo pełnego rzędu). Pro

stokątną macierz 15 rozłożymy teraz (według poznanej wcześniejszej zasady) na czynnik trójkątny H oraz trapezowy Ci', czyli B-H⁷G' lub, uwzględniając struktury macierzy B i G',

[a L]=H^r[G'L_c]

Z powyższego rozkładu wynikają następujące zależności:

H⁷ G = a| (*) II⁷ L_C; = L ]

Korzystając z pierwszej z nich, zapiszemy H⁷G-A AG"’    ->

H⁷' = AG^-1

Wprowadzając macierz II⁷ = A G ¹ do zależności (*), uzyskamy A G’L_f; - L, a następnie

A^-1-/ A    ~ L ->

G“'L_g. = A~^łL

Ponieważ A^_IL~X, więc G'ⁱL_g=X oraz G-/ G“¹L_C=X

(1.20)

G X ~ I,_G

Przeprowadzone przekształcenia pozwoliły na zastąpienie układu równań A X = L o dowolnej (lecz kwadratowej i nieosobliwej) macierzy współczynników A układem GX = L_G, w którym macierz współczynników jest trójkątna. Skoro G jest macierzą trójkątną, to nieznane elementy wektora X można wyznaczyć rozwiązując równania o jednej niewiadomej, będące rezultatem mnożenia kolejnych (poczynając od ostatniego) wierszy macierzy G przez wektor X (z przyrównaniem do odpowiednich elementów wektora L_G). Zatem

	^1 Sil ■	n '■ SIn i	^x\		* "1
	0 1 -	S 2 n |	A" 2	-	^1<A2
L	0 0 -	1 J	_^xn .		V

G    X » L_g

[a i L]=R^r[R : L*]->

(1.21)

RX = Ljj

1.4. Uogólnione odwrotności macierzy i ich zastosowanie do rozwiązywania układów równań liniowych

Uogólnioną odwrotnością (g-odwrotnością) macierzy A e Si"'"' o rzędzie R( A) — r nazywamy macierz A~ e 9i'"'". spełniającą zależność (np. Rag 1982)

(1.22)

A A "A = A

Uogólniona odwrotność A jest taką macierzą, że dla dowolnego U e 9U^1,1 wektor

X = A“L

jest rozwiązaniem równania AX = L. Istotnie, jeśli przyjmiemy, że powyższe równanie ma rozwiązanie oraz weźmiemy pod uwagę zależność (1.22), to

AX-L

(AX = AX AAJAX-AX)    AA L = L

X    x

skąd wynika, że X~A"L. Można wykazać, że rozwiązanie X = A'X jest prawdziwe także dla takiej uogólnionej odwrotności, że

A“AA“ = A” (*)

Zakładając bowiem, że X = AX rozwiązuje równanie AX = L. możemy zapisać

AX = L « AA~L = L

a następnie

A“-/ AA"L = L => A“AAL = AL

A~

Należy jednak zwrócić uwagę, że nie każda uogólniona odwrotność spełnia zależność (*).

Każda macierz A może mieć wiele uogólnionych odwrotności spełniających warunek (1.22). Można jednak, oprócz warunku (1.22), nakładać na

23