img043 (38)

48

—    dla punktu początkowego dla iteracji otrzymuje się ciąg zbieżny do pierwiastka x ¹ równania^)= 0;

—    dla punktu początkowego jrffi dla iteracji otrzymuje się ciąg oscylujący w pętli;

—    dla punktu początkowego dla iteracji otrzymuje się ciąg zbieżny do pierwiastka x*ⁿ równania/(x) = 0;

—    dla punktu początkowego X(q) dla iteracji otrzymuje się ciąg rozbieżny do +co.

Rys. 3.6. Przebieg iteracji w metodzie stycznych dla kilku różnych punktów początkowych

Twierdzenie 3.2

(Dotyczy zbieżności ciągów kolejnych przybliżeń otrzymywanych według algorytmu metody stycznych).

Niech x* będzie pewnym rozwiązaniem danego równania (3.1), gdzie odnośnie do funkcji/(-) zakłada się, że ma pochodną ciągłą.

Ciąg (x(*))*=o,i,2,... kolejnych przybliżeń zdefiniowany formułąrekurencyjną

(3.46)

X(₀) e^R,

*(*+!) = ^x(k )-f{^x{k))/f'{^x(k)) > ^k = o, 1, 2, —,

algorytmu metody stycznych jest zbieżny do pierwiastka x, jeżeli punkt początkowy x₍₀) jest położony dostatecznie blisko x* i f\x) * 0.

Ponadto, jeżeli istnieje/"(x*), wówczas błąd I x_{k) -x* I przybliżenia pierwiastka maleje z kwadratem, to znaczy

k*+i)^-x1-^a‘k*)^-;r*| ’    ^³'⁴⁷^

gdzie a jest stałą [6].