img078 (19)

83

Warunki zakończenia obliczeń mają tu postać taką, jak w przypadku rozwiązywania równań postaci ogólnej (4.1) z wykorzystaniem algorytmu iteracji prostej (por. 3.2.1), to

znaczy
	| -^v(t+i) - •*(*) | < e dla pewnego k = 1, 2, ■ • •,	(4.49)
i/lub
	A ■ - b < 5 dla pewnego k = 1, 2, • • •,	(4.50)

gdzie e i 8 są zadanymi liczbami określającymi wymaganą dokładność wyznaczenia rozwiązania [8],

4.2. Metoda Gaussa-Seidla [7, 8,19]

Niech dane będzie równanie (4.2) (układ n równań liniowych z « niewiadomymi), w którym macierz współczynników A jest nieosobliwa. Jak poprzednio, niech D będzie częścią diagonalną (4.32) macierzy A, natomiast L i U podmacierzami trójkątnymi macierzy zl, odpowiednio dolną i górną, o zerowych elementach na głównych przekątnych

	" 0	0	0	... o"		"0	«12	au	^a\n
	^a2\	0	0	... o		0	0	^fl23	■■■ ^a2n
L =	«31	^a32	0	... 0	, u =	0	0	0	^a3 n
	Pn\	^an2	^an3	... 0		0	0	0	... o

Równanie (4.2) jest przekształcane do postaci (4.3) odpowiadającej realizacji algorytmu iteracji prostej w następujący sposób. Macierz A jest przedstawiana w postaci

A=L+D+U,	(4.52)
a następnie równanie (4.2) jest przedstawiane w postaci
(.L + D + U) x = b	(4.53)
i przekształcane do postaci
(L + D)- x = -U ■ x + b ,	(4.54)
skąd ostatecznie
x = -(L + dY' U x + {L + D)-' b .	(4.55)

Przed dokonaniem rozkładu macierzy A na sumę (4.52) jej podmacierzy L, D i U, należy dokonać takiego przestawienia równań w układzie równań i ewentualnie przestawienia kolumn macierzy A wraz z przenumerowaniem współrzędnych wektora x, aby otrzymana podmacierz L + D była nieosobliwa.

Równanie (4.55) ma postać równania (4.3), odpowiadającą realizacji algorytmu iteracji prostej. Macierz G jest tu macierzą -(L + D)~¹ • U, natomiast wektor c jest równy (.L + D)' ■ b.