Obraz4 (88)

nia „rzeczywistego pola”, a więc zaproponowały pomnożenie pola mapy przez 1 milion. Nauczyciel przyjął tę odpowiedź i zapytał dalej: „ilu z was mogłoby stanąć na tej mapie, jeden przy drugim, tak abyście za bardzo nie rozpychali się łokciami”? Dzieci - jeszcze niczego nie podejrzewając stwierdziły, że czterech uczniów, „zmieściłoby się na mapie, ale już chyba ; nie więcej”. Pytanie: wobec tego na całym obszarze przedstawionym na mapie, a więc większym niż obszar Polski, ilu co najwyżej uczniów można by ustawić „łokieć przy łokciu”? wywołało konsternację! „Jak to możliwe”? wołali uczniowi?, ..przecież by tych gęsto ustawionych ludzi było tylko 4 miliony, a w Polsce jest przeszło 30 000 000”!

Sytuacja była konfliktowa; uczniowie koniecznie chcieli ją wyjaśnić, usunąć sprzeczność, którą byli zaniepokojeni. Ta emocjonalna postawa uczniów stała się punktem wyjścia do bardzo interesującej lekcji, opartej na twórczym poszukiwaniu odpowiedzi na postawione pytanie.

Schemat okazał się nieodpowiedni do rozwiązania problemu, sformułowano nowy. Co więcej, dokonano dalszego kroku naprzód, gdy rozważano także podobieństwo w trójwymiarowej przestrzeni. Teraz można już było dokonać uogólnienia, uwzględniając wszystkie trzy przypadki. Otrzymano schemat schematów. Uczniowie uświadomili sobie przy tym, że trzeba być bardzo ostrożnym przy korzystaniu z poznanych przepisów postępowania i stosować je tylko w tym zakresie, w którym ich poprawność została zweryfikowana. Emocjonalne przeżycie próby asymilacji nowej sytuacji do przyswojonego schematu, konfliktu między głębokim przekonaniem a rzeczywistym stanem rzeczy i adaptacji schematu do nowej sytuacji wpłynęło na głębsze zrozumienie i utrwalenie poznanego ogólnego twierdzenia.

Z przekraczaniem zakresu poprawności schematu postępowania spotykamy się często, gdy uczniowie stosują automatycznie reguły rachunku. Tutaj kontrastowanie powinno wystąpić już od początku, gdy tę regułę uczniowie poznają. Udowodniono twierdzenie: jeżeli obie strony równania pomnożymy przez liczbę różną od zera, to otrzymamy równanie mu równoważne. Nauczyciel wie jednak z góry, że jego uczniowie niejednokrotnie będą popełniać błędy, uznając za równoważne równania, z których jedno powstaje z drugiego przez pomnożenie obu stron przez - tradycyjnie tak zwane - „wyrażenie algebraiczne”. Nauczyciel uprzedza ten błąd przez podanie układu równań nierównoważnych tego typu, na przykład:

z których drugie otrzymał z pierwszego przez pomnożenie obu stron przez dwumian (x² - 4).

Uczniowie uświadamiają sobie wyraźnie, czynnościowo wszystkie elementy poznanej reguły, kontrastowanie przez przykład służy temu najlepiej, najskuteczniej.

5. Racjonalny wybór schematu

Ważnym warunkiem tego, aby czynnościowe schematy nie przeradzały się w mechaniczne, sztywne recepty, jest stałe uświadamianie uczniom różnych sposobów postępowania prowadzących do tego samego celu, przyzwyczajanie do racjonalnego wyboru najbardziej odpowiedniej i najbardziej ekonomicznej drogi wiodącej do rozwiązania zagadnienia. Mogą to być zarówno sytuacje zupełnie prymitywne na poziomie dziecka ze szkoły podstawowej, jak i sytuacje bardziej złożone. Oto proste przykłady.

a)    Uczniowie, porównując co do wielkości dwa ułamki, najczęściej sprowadzają je do wspólnego mianownika. Proponujemy porównać ——

uczniowie nie przyzwyczajeni do racjonalnego wybierania schematów mechanicznie zabierają się natychmiast do szukania wspólnego mianownika dla tych ułamków. Uczniowie uczeni od początku w sposób właściwy rozstrzygną najpierw, co się lepiej opłaci: sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, czy do wspólnego licznika. Oczywiście w tym przypadku sposób drugi jest bardziej racjonalny.

b)    Uczniowie bardzo często nie rozumieją operatywnego sensu wzorów algebraicznych. Twierdzenie: „potęga iloczynu równa jest iloczynowi potęg czynników tego iloczynu o tych samych wykładnikach” wydaje się im „tautologią” w tym znaczeniu, że nie widzą oni różnicy między wyrażeniami „iloczyn potęg” i „potęga iloczynu”. Dlatego na czynnościowe opracowanie struktury wyrażenia algebraicznego trzeba od początku zwracać bardzo baczną uwagę, kładąc nacisk na kolejność występujących w nim dzia-

255