Odpowiedzi i wskazówki Zad 9c d 198

1

a/    \    1+sin —

K [    k \    a    R    2

— 1-sin—= 1 + sin — ,    — = -

r \    2    2    r    a

'    ¹    1—sin —

2

1 + sin — R    2

a więc s =    —    =-—

r    a

1 — sin —

190. a) Rozwiązanie: Aby wyznaczyć zbiór A r\ B rozwiązujemy równanie:

n n Ti    .    3 k—1

— k — — mĄ--, stąd ‘Ak = 2m+11 m =-:

2    3    6    2

37; — 1

m jest liczbą całkowitą, należy więc zbadać dla jakich k, —-— e C.

Rozważmy dwa przypadki:

1) k — liczba parzysta, 2) k — liczba, nieparzysta.

Jeśli k jest liczbą parzystą, to Ak— 1 jest liczbą nieparzystą i wów-Ak— 1

czas---ś C.

2 ^T

Ak—l

Jeśli k jest liczbą nieparzystą, to Ak — 1 jest liczbą parzystą i —— e C.

2

—, TL    TL    TL _f

W takim razie — k — — m-\--i k, m e C o k jest liczbą nieparzystą.

2    3    6

więc

A B = e R : x — —k i k — 2n+\, wecj,

b)    A rs B — 0,

.    .    _ f _    2n. Ti    j

c)    A r\ B — \ x e R : x =-k-{--i k — 5n-j-2, n e C \ ,

l    5    5    J

d)    i A B = 0, e)BcA=>Ar^B = B.

191. a) Rozwiązanie: Zauważmy, że 1 e ^0; ~J, stąd 0 < sin 1 < 1

i 0 < cos 1 < 1.

Badamy znak różnicy: sin 1—tgl.

,    . i    sini sini (cos 1 — 1)

cos 1    cos 1

więc sini—tgl <0 i sini < tgl,

b) cos 1 < ctg 1,    c) sin 2 > cos 2,

(I) sin-— < tg — , 4    ó

I'/ sin 57i > cos 3tt,

o7t

6) Ctg — = tg — ,

4    4

lit *, u) Rozwiązanie: Ponieważ 1 e ^0;— J, więc 0 < cos 1 < 1, zaś stąd sin (cos 1) > 0,

I)) liczba dodatnia,    c) liczba dodatnia,    d) liczba dodatnia,

o) liczba ujemna,    f) liczba dodatnia.

111;!, a) Ii—{o}, b) R, c) R — D, gdzie D — j# e R:x — k— i k e cj,

d) R — D, gdzie D = ja: eR:x — -j-(26+1) i k e cj,

o) R, f) R — D,

[    n    n    1

gdzie D — lx eR\x — — (4/c-f 1) lub x —    (4m— 1) i k, m eC \, g) R,

h) R.

IHI. a) nieparzysta,

b)    nieparzysta,

c)    nieparzysta,

h)    parzysta,

i)    nieparzysta,

j)    parzysta,

d) ani parzysta, ani nieparzysta, k) parzysta,

e)    parzysta,

f)    nieparzysta,

g)    nieparzysta,

11)5. a) Dla a = 0 i b e R, 3 71

1) nieparzysta,

m)    ani parzysta, ani nieparzysta,

n)    parzysta,

o)    nieparzysta.

b) Dla a e R i 6 = 0.

III?, a) n,

e)

b) 4n

^f) ó

i)    n,

j)    2w.

c) 3ti,    g) 3,

1

d) 4n,    h) 2-

Wskazówka doli): najpierw przedstaw w postaci iloczynu wzór określający funkcję.

IUH, Dla a = 6 lub a = — 6. W obu przypadkach zbiorem wartości funkcji jest < —8; 4>.

1G5