Obraz0 (41)

Zestaw XV

(Trygonometria)

Zadanie 1. Jakie wartości może przyjmować sina;, jeśli

_sin(_x+|) ₌ _i^?

Zadanie 2. Wyznacz zbiór wartości funkcji /(ar) = 2 cos² a; — cos ar. Zadanie 3. Dla pewnego kąta ostrego ar wiemy, że tg ar = 3. Oblicz sin4ar.

Zadanie 4. Wyznacz zbiór rozwiązań:

a)    równania cos 2ar — cos ar = 0,

b)    nierówności cos 2ar < cos ar, w przedziale (0,2tt)?

Zadanie 5. Rozwiąż równanie

sin ar

+ cos² ar = (^/3 + 1^ sin ar cos ar.

Zadanie 6. Wyznacz najmniejsze dodatnie rozwiązanie (w stopniach) równania cos 5° cos ar + cos 95° sin ar = cos 35°.

4

Zadanie 7. Niech ar ,y będą kątami ostrymi. Wiedząc, że sin ar 4- sin y — - ora, ,    2VS    .    •    ³

cos ar + cos y = —— uzasadnij, ze ar = y.

Zadanie 8. Wykonaj wykres funkcji:

/(ar) = sin ar • | sinar| + cos ar • | cosar|

dla ar € (0,2ir).

Zadanie 9. Niech 0 < a < 7r. Wyrażenie \ i + iy ^ + - cos o: zapisz w naj

V 2    2 V 2    2

prostszej postaci.

Zadanie 10. Wiedząc, że tg a = —2, oblicz wartość wyrażenia:

sin³ a — 3 cos³ a 5 sin a — cos ol

Zadanie 11. Udowodnij równość

sin 10°

\/3

cos 10°

I

/.udanie 1. Dany jest trójkąt ABC, jak na rysunku, gdzie O oznacza środek ■ •kręgu wpisanego w ten trójkąt. Wyznacz miary kątów wewnętrznych tego trójkąta.

c

/.udanie 2. Trzy okręgi o promieniach 2, 4 i 6 są parami zewnętrznie styczne.

¹ >l>licz długość promienia okręgu przechodzącego przez punkty styczności tych

• •kręgów.

/.udanie 3. Okrąg przechodzący przez wierzchołek kąta ostrego i wierzchołki kątów rozwartych rombu dzieli dłuższą przekątną rombu na dwa odcinki o długościach 25 i 7. Oblicz pole tego rombu.

/.udanie 4. Dany jest równoległobok o kącie ostrym 60°. Odległości punktu przecięcia się przekątnych od boków równoległoboku wynoszą 3 i 5.

a)    Oblicz pole tego równoległoboku.

b)    Wyznacz długości przekątnych równoległoboku.

/udanie 5. Wykaż, że jeżeli w czworokącie ABCD mamy AB\\CD, to / \od = Pjboc, gdzie O oznacza punkt przecięcia przekątnych tego czworokąta.

/udanie 6. W trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości 12 cm wpinano okrąg o promieniu 2 cm. Oblicz pole i obwód tego trójkąta.

Zadanie 7. Na bokach AB, BC i CA trójkąta równobocznego ABC o boku długości a obrano odpowiednio punkty K, L i M w taki sposób, że \AK\ : \KB\ = 3 : 1, \BL\ : \LC\ = 3 : 1 i \CM\ : \MA\ =2:2. Oblicz pole trójkąta KLM.

Zadanie 8. Miary trzech kolejnych kątów czworokąta wpisanego w okrąg pozostają w stosunku 3 : 5 : fi. Wyznacz miary kątów tego czworokąta.