Obraz1 (58)

— parametr A zaczyna wzrastać od zerowej wartości początkowej. Jeżeli zaburzenie jest dokładnie równe zeru, to poszukiwane rozwiązanie (15.9) musi być oczywiście takie samo jak rozwiązanie wyjściowe <f>_v. Współczynniki, jakie otrzymujemy dla A = 0, oznaczamy górnym wskaźnikiem 0. Stan początkowy oznaczamy wskaźnikiem dolnym k. Mamy więc związek

(15.14)

(15.15)

₀ _ fl dla v = k, ^Cv {O dla v ± k

lub krócej

Jeśli teraz pozwolimy, by parametr A zwiększył się, to oczywiście zmienią się też współczynniki c_v. Oczekujemy, że w pierwszym przybliżeniu współczynniki c_v wzrosną proporcjonalnie do wartości A. W następnym przybliżeniu musimy uwzględnić zmiany proporcjonalne do A² itd. Odnosi się to również do nowych wartości energii E. Dostajemy więc

c_v = 5_W+Act^,}+AV_v^2,+ ...    (15.16)

oraz

E = E£+tó^li+X²d*⁾+ ...    (15.17)

Wyrażenia te wstawiamy do (15.13) i otrzymujemy

CĘ-Ą-fc*^ł>-AV²⁾- ...)(5,_ut+Ac_łI+ ...)+£aHI_v(8_vk+Xc?⁾+ ...) = 0.    (15.18)

Równania (15.16) i (15.17) wyznaczają kolejne rzędy wielkości, o czym łatwo się przekonać przyjmując np. A = 0,1. W tym przypadku A²•= 0,01 — co stanowi zaledwie 10% wartości A. Mówiąc niezbyt ściśle, próbujemy rozwiązywać równanie (15.18) z dokładnością do różnych miejsc dziesiętnych. Przy zastosowaniu ścisłego języka matematycznego oznacza to, że musimy wykonać w równaniu (15.18) wszystkie mnożenia i pogrupować człony zgodnie z kolejnymi potęgami A. Następnie musimy zażądać, by współczynniki przy poszczególnych potęgach A znosiły się nawzajem. Dla potęgi zerowej mamy

(fij-£)«„, = 0,    (15.19)

co jest spełnione tożsamościowo. Dla pierwszej potęgi A

= 0.    (15.20)

Badając to równanie, odróżniamy dwa przypadki: n = k oraz n + k. Dla /i = k równanie (15.20) sprowadza się do

Ą - HI**IK*¹*k dv.    (15.21)

W odniesieniu do zaburzeń energii oznacza to — zgodnie z równaniem (15.17) — że w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń prawdziwe jest przybliżenie

B^EZ+H*,.    (15.22)

289