P6080232 (2)

Niech q będzie ilorazem, a r resztą z dzielenia wielomianu f klasy n_2n+1 przez

f = p_n+\q + r n„).

Stąd f(Xj) = r(Xj). Ponieważ wzór (18) jest z założenia dokładny dla wielomianów z fl_n a wielomian p_n+i jest ortogonalny względem tychże wielomianów (bo każdy z nich da sie przedstawić jako kombinacja liniowa wielomianów p₀, p₁,..., p_n), więc

I f    f{x)w(x)dx = Ir(x)w(x)dx = VA_lr(x_l) = y'A;f(x₁).

I Ja    Ja    Tt    7~Z

Sensowność kwadratur Gaussa wynika m. in. stąd, że - jak wynika z następnego twierdzenia - każdy wielomian ortogonalny w danym przedziale ma tylko zera rzeczywiste, pojedyncze i leżące w jego wnętrzu.

©Zbigniew Bartoszewski (Politechnika Gdańska)