PB032238

,lawowe yńdorą^ j    _Ciigi lic,boye_

Twierdzenie 6.1 Ą.

Hm (l + -) = e. n-» oo \ n)

Wykazuje się, że Hczba e jest Hczbą niewymierną, przy czym e = 2,718281828459045235 ....

to:    Liczba ta odgrywa dużą rolę w matematyce, podobnie jak Hczba 7r, która

jest granicą ciągu {A_n}, gdzie A_n oznacza długość obwodu n boku foremnego wpisanego w koło o średnicy 1.

Funkcja logarytmiczna y = log₀ x jest określona dla x > 0, a > 0 i a ^ 1. Gdy przyjmiemy a = e, otrzymamy funkcję y = log_e x, którą oznaczamy y = Ina:. Jest więc:

log_e x = ln x.

Funkcja y — ln z nazywana jest logarytmem naturalnym. Odwrotna do niej funkcja to funkcja wykładnicza:

y = e^x, Df = R,Rf = R+,

zwana funkcją exponencjalną, którą zapisuje się czasami w postaci:

IH I. f

6.5.3. Ciągi rozbieżne

Wśród ciągów rozbieżnych wyróżniamy ciągi, które mają granice niewłaściwe +oo lub —oo.

Definicja 6.25. Mówimy, że ciąg {a_n} ^ma granicę niewłaściwą +oo, co zapisujemy:

Hm a_n = +oo lub a_n-► +oo,

n—*oo    n—*oo' •

jeżeli:

aony, tzn.:

I? |

[graniczonych *7^ cz&my literą e-

I analogicznie:

VM 3um Vn > um ■ On> M.

^Hm On = — oo <=> VM 3um Vn > um '■ a_n<M.