S6300952

48

Ci

fi

Teraz możemy przystąpić do obliczenia granicy. Mamy

lim

1 4- 2 + 2² + . . . +- 2'²

pal

„„    -    .    = lim —r

n—.cc 4    4- -4- 4³ + ... + 4"    n—*oo 4

=4 | • lim

: 4"    4 _n_,o

o (4ⁿ - 1)

-i

1 -

1

3    2-0

4    1-0

V #. Przykład 1.8

Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć podane granice:

a) lim

[\/n^2 + nj
	n
sin^2	n + 4n

oo    3 n — 1

n

c) lim

e) lim y/n + 3;

n—+ oo

2    3

3    ⁺4⁺'-- ⁺ ^+T^;

^g) lim \/T

n—»oo y 2

i) lim

1

+

1

n-*oo \ y/_n2 _j_ l y/_n2 _)_ 2

+ • • - +

1

k) lim

+

y/n² + 1

n

i*) lim !2fe£L+l)

n->oolog₂(₄n₊₁y

n—*oo \(n    1)! (n + 2)!

Rozwiązanie

Przypomnimy twierdzenie o trzech ciągach: jeżeli ciągi (o_n), (b_n), (cn) spełniają, zaczynając od pewnej liczby naturalnej no, nierówności a„ ^ b_n ^ Cn i skrajne ciągi (a„). (c„) są zbieżne do tej samej granicy, to ciąg środkowy (b_n) jest również zbieżny do tej granicy.

a) Dla każdego ieR prawdziwe są nierówności x — 1 < jxj x. Zatem dla n € N mamy

(2n)

y/n² + n — 1    [\/n² -f nj ^ y/n² + n

n

Ciągi ograniczające badany ciąg z lewej i z prawej strony mają te same granice. Mamy bowiem

lim

n—*oo

y/n² -j- n — 1

lim

u—+ oo

1₊I-I =1

n ni

n

oraz

lim    lim ,/1 + 1=1.

Zatem z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że

[\/n² -ł- nj __ ^

n

lim

n—♦ oo