s72 73

72

(ii) Jeżeli

/?(sina;, — cosa;) = —R(sina;, cos a;), to stosujemy podstawienie

sina; = t.

(iii) Jeżeli

R(— sina:, — cos x) = R(smx,cosx),

to podstawiamy

tgx = t.

(iv) Jeżeli nie zachodzi żaden z warunków (i)-(iii), to stosujemy podstawienie uniwersalne

x

^tg2 ⁼ *'

Stąd wynika, że

- = arctg t x = 2arctg t,

a więc

dx =

1 + t²

dt.

tO|R

Dodajmy, że funkcje sina; i cos a; można przedstawić za pomocą funkcji tg mianowicie

21    1 -t¹

cosx

1 + t²’

1 + i¹ ’

gdzie

x

* = tgj-

15. Funkcja podcałkowa jest nieparzysta względem cos a:, zgodnie więc z punktem (ii) podstawiamy

sina; = t,

cosxdx = dt.

a stąd Wówczas

i

cos x sirr xdx

— I t⁶dt = \t⁷ + C = \ sin⁷ x + C. J    7    7

16. Funkcja podcałkowa jest nieparzysta względem sinx, a więc podstawiamy

cos a; = t => —sin xdx = dt.

Wówczas

/sin³ x    f sin x sin" x ,    /

--x—dx = / --—dx =

9 + cos² x    J 9 + cos² x

" sin a;(l — cos² x)

dx

9 + cos² x

² - ¹    '■ *^{2 1} 9 - 10

+ 9 ;dt.

dt

Podstawmy

t

3^=U

dt = 3du.

Wówczas

f dt    f du    _    t

J i ₊ (i)² = 3 J i ₊ u2 ⁼ 3arctS ^{U + C}i = 3arctg- + Ci.

Ostatecznie

/

sin³ x

-    ,    ,    10    t    10 cos a;

9+cos^ = ¹" y^{3 arctg}3 + ^{c    +}

17. Funkcja podcałkowa spełnia warunek (iii), więc podstawiamy

tgx = t.

Stąd

1

-dx — dt.

Przedstawmy funkcję sin² x za pomocą tg:r

sin x =

sin² x

tg" a;

t’

sin² x + cos² x    1 + tg² a; 1 + t²

Z powyższego wynika

[ii** - [a*;

./ sin x cos² x J t    J \t j

dt

t

t+< + C = ----b tga; + C = -ctga; + tg x + C.

tgx

Przedstawmy jeszcze inny, bardzo prosty sposób obliczenia całki z zadania 17. W tym celu skorzystamy ze wzoru

1

sin² x + cos² x.