str130 (4)

130 Z FUNKCJE SPECJALNE

Własność 6. Jeżeli y„ są kolejnymi dodatnimi pierwiastkami równania Jjy) = 0, to J_y (~* jcy jest ciągiem funkcji ortogonalnych z wagą x w przedziale (0, a) i zachodzą następu

jące związki: (2.24)

dla    m # n,

ł«²[^v(y_n)]² dla    m = n

o

dla v>—

Własność 7. Jeżeli y„ są kolejnymi dodatnimi pierwiastkami równania:

(2.25)    yJ'Xy)+HJ_v(y) = 0,

gdzie H jest pewną stalą różną od zera i v> —•£, to

(2.26)

*.(*) =

jest ciągiem funkcji ortogonalnych z wagą x w przedziale (0, a) i zachodzą następujące zależności:

f0    dla m / n,

.,2\

(2.27) J xR„(x) R_m(x) dx — -o

ła²|[^v(r_B)]²+^l-^^(y„)| dla

m = n.

Rozwiązanie. Mnożymy c kujemy w przedziale (0, a). N;

rf(r)

Ze wzoru (2.5) mamy 7,'(y_k) =

A_k =

Obliczamy obecnie całkę wy;

po podstawieniu y_k- = x a

mamy zatem

dr

Zadania przykładowe

Zadanie 2.1. Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego

d²u 1 du

(1)

z?⁺TZ^+4u=0

spełniające następujące warunki:

<2, "⁽ⁱ⁰"¹⁰-

Rozwiązanie. Zgodnie ze wzorem (2.18) możemy napisać ogólne rozwiązanie równania (1)

u(x) = AJ₀(2x) + BY₀(2x).

Funkcja Y₀(z) w punkcie z = Ojest nieograniczona, zatem warunek m'(0) = 0 jest spełniony, gdy B = 0. Z drugiego warunku otrzymujemy A — 10, zatem

u (x) = 10 J₀(2x).

Zadanie 2.2. Wyznaczyć współczynniki A_n w rozwinięciu na szereg Fouriera-Bessela funkcji /(r) = U₀r w przedziale 0<r<a:

(1)

n-l

gdzie y„ są kolejnymi dodatnimi pierwiastkami równania Jfy) = 0.

Zadanie 2.3. Wyznaczyć og<

(1)

Rozwiązanie. W celu spro kowego Bessela wykonujemy pc

d²y ,dy dt²    dx

zatem równanie (1) przybiera f

(2)

Rozwiązaniem ogólnym równan

zatem szukana funkcja ma pos