str151 (3)

DWANIA	$ 2. WYZNACZANIE OBRAZU. GDY ZNANY JEST JEGO ORYGINAŁ 151
nu (rys. 3.4), w którym po-i U2(1) zachodzi następujący	b) L[7(t)l =-“5—, wskazówka: por. zad. 2.8, ’ ^uwj (S+2)^2+r
l ‘	b ^c) L[/(0] = ^-7, wskazówka: wykorzystać zad. 2.2, s —b
ormujemy wyraz po wyrazie m wszystkie wartości począt-	s d) L[/(t)] = ^-2 > wskazówka: wykorzystać zad. 2.2. — s —b s^2 3. a) L[/(t)] = —$-2’ wskazówka: por. zad. 2.9 i wynik zad. 2.3, (s -+-1) b)    L[/(t)] = 2+^ż» wskazówka: por. zad. 2.9 i wynik zad. 2.3, c)    L[/(t)l =-—-, wskazówka: wykorzystać wynik zad. 2.2, (s+6)(s+4) d)    L[/(t)] = —j-, wskazówka: wykorzystać wynik zad. 2.2. s(s -1)
-e~\ ;^2,+cos /.	§ 3. Przekształcenie odwrotne względem przekształcenia Laplace’a i jego podstawowe własności
'sin t, \bt.	Twierdzenie 1. Jeżeli funkcja /(/) jest oryginałem (tzn. czyni zadość warunkom 1°, 2°, 3° definicji 1.1), a funkcja (s = X + ioS) jest transformatą Laplace'a (obrazem) funkcji/(/), to w każdym punkcie, w którym f(t) jest ciągła, słuszny jest wzór
nf-tcos/),	A + loo
h/-l.	(3 1) f(i) =— #(s)e^5'ds dla Res = 2>20, 2ni J A — ioo gdzie całkowanie odbywa się wzdłuż dowolnej prostej równoległej do osi urojonej o równaniu Rej = X>X0 (rys. 3.1) oraz gdzie X0 jest wskaźnikiem wzrostu oryginału f(t). Całkę występującą po prawej stronie wzoru (3.1) rozumiemy w sensie wartości głównej, tzn. A + ioo A + io>o ( <P(s)e^s,ds= lim J &(s)e^sl ds. A —i co 0)o~-* co A — i©o
i 2.3,	Uwaga 1. Ze wzoru (3.1) wynika, że funkcji <k(s) odpowiada tylko jedna funkcja f{t). Przekształcenie (3.1) nazywamy przekształceniem odwrotnym względem przekształcenia Laplace'a (1.2) i oznaczamy symbolem L~^1 [<£(■?)]. Mamy więc
1 Z.O •	A + ioo (3.10 /(O-^ J 4>(s)e^I'rfs = L-^1[<f(s)] = L-^1(<f). A-/co

(3.1')