42418 str147 (3)

ISOWANIA § 2. WYZNACZANIE OBRAZU. GDY ZNANY JEST JEGO ORYGINAŁ 147

unkcji /(f) = 5—e²'.

Laplace'a do naszej funkcji,

a = 2).

mamy

(1)

Zadanie 2.6. Znaleźć obraz (transformatę Laplace’a) funkcji f(t) = cosbt. Rozwiązanie. Zauważamy przede wszystkim, że

1

cosfcf = — (sin fet)' dla 6# 0. b

Stosując dla obu stron tożsamości (1) przekształcenie Laplace’a, mamy

i    -i

—(sin bt)' .

Na mocy wzoru (1.4) równość (2) możemy napisać w postaci

(3)

Na mocy wzoru (1.7) mamy

L [cos bt] = — L [(sin bt)'].

b

(4)

L[(sin bt)'] = sL [sin bt] — sin0 = s

Uwzględniając wzór (4) w prawej stronie wzoru (3), mamy

s

(5)

s b

L [cos bt] = —• -5-= ~2-TT.

b s² + b²    s² + b²

funkcji f(t) = 3—2e'+2sin4/. mamy

2L[sin 4t],

i = D,

!a 6 = 4).

wności (1), mamy

8

^r+16‘

Wzór (5) wyprowadziliśmy dla b # 0. Sprawdzamy bezpośrednio, że pozostaje on prawdziwy i dla 6 = 0. Ostatecznie szukana transformata określona jest wzorem

Zadanie 2.7. Znaleźć obraz (transformatę) funkcji /(/) = i", n — naturalne. Rozwiązanie. Zauważmy najpierw, że

(1)    Jl du = t.

o

Biorąc po obu stronach wzoru (1) przekształcenie Laplace’a, mamy

(2)

Na mocy wzoru (1.9) mamy

(3)

Lii Idu] = ^L [0 •

s s

Uwzględniając wzór (3) w równości (2), mamy

i-56

•W

(4)

łw-4

10*