str277

§ 2. PODSTAWOWE DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE 277

Własność 10. Rezultatem operacji zwężania jest tensor o Walencji niższej o 2n od Walencji początkowej, przy czym n jest krotnością operacji, np.

(2.13)    T_s =    , gdzie n = 2.

Wzór (2.13) jest przykładem dwukrotnej operacji zwężania dokonanej na tensorze A^kJ._p o walencji 5. W wyniku operacji (2.13) otrzymaliśmy tensor T_s rzędu pierwszego.

Własność 11. Każdy tensor mieszany można w wyniku operacji zwężania sprowadzić do postaci tensora kontrawariantnego lub tensora kowariantnego, lub skalara.

Definica 10. Iloczynem wewnętrznym nazywamy rezultat operacji zwężania dokonanej na iloczynie zewnętrznym, gdzie jeden ze wskaźników sumowania należy do jednego tensora. a pozostały do drugiego tensora.

Własność 12. Każdemu tensorowi rzędu drugiego można przyporządkować w jednoznaczny sposób skalar będący wyznacznikiem utworzonym z jego elementów, np.

			A12 •	• ain		Bl	B\ •	. B'n
(2.14)	\Am„\ =	^21	A.22	.. A2n	, m =	Bl	Bl	Bl
	1	Ani	aN2 .	■ ann			Bl .	. Bl

Własność 13. Jeżeli X^r (X_r) jest dowolnym wektorem kontrawariantnym (kowariant-nym) i A_rX^r (A^rX_r) jest niezmiennikiem, to A_r (A^r) jest wektorem kowariantnym (kontrawariantnym), np.

(2.15)    A_rX' = A’X'^r i    X ^,r = X^s-^-!

ox

to

(    ,8x"\ ,

(2.16)    [A_s-A'_r—y = 0.

Ponieważ wielkości X^s są dowolne, więc wyrażenie w nawiasie znika

co oznacza zgodnie ze wzorem (1.10), że A_r jest tensorem kowariantnym rzędu pierwszego.

Własność 13 nosi nazwę pośredniego kryterium charakteru tensorowego. Kryterium to nie ogranicza się oczywiście tylko do tensora rzędu pierwszego. Jednak jest rzeczą istotną, by występowały w tym kryterium pewne dowolne wielkości, o których wiadomo, że mają charakter tensorowy.

Własność 14. Jeżeli w każdym N-wymiarowym układzie współrzędnych w pewnym punkcie dany jest zbiór wielkości f(m, n) zależnych od dwóch wskaźników i jeżeli A „jest wektorem kowariantnym i w wyniku operacji

(2.17)    f(?n,n)A„ = B^m,

otrzymujemy wektor kontrawariantny B^m, to f(m, ri) jest tensorem kontrawariantnym f^nm rzędu drugiego.    '

Własność 14 można uogólnić na tensory wyższych rzędów.