str283

283 § 3. TENSORY W PRZESTRZENI RIEMANNA

Własność 11. Jeżeli X^r i Y^r (X_r i Y_r) są wektorami jednostkowymi, to cosinus kąta <p zawartego między nimi określony jest wzorem

(3.18)    cos <p = a_mnX^mYⁿ lub

(3.19)    cos <p = a^mnX_m Y ,.

Własność 12. Warunkiem koniecznym i wystarczającym ortogonalności dwóch wektorów niezerowych X^T, Y^r lub X_r, Y_r jest

(3.20)    a_mnX^mYⁿ = 0 lub a^mnX_mY_n = 0.

Własność 13. Jeżeli xś = x\u) jest parametrycznym równaniem krzywej, to długość luku tej krzywej od punktu x'(uj) do punktu x'{u₂) określona jest wzorem

(3.21)

[u;

ECtn

«1

dx^m dxⁿ

---du.

du du

L .1

Jeżeli x' = xJ(s) jest równaniem parametrycznym krzywej, przy czym dx^r

to ■— jest wektorem jednostkowym stycznym do linii xJ(.v), a zatem ds

dx^m dxⁿ

^£amn‘dś'd7~¹'

Zadania przykładowe

i

Własność 14. ds² = ea_mndx^mdx",

(3.22)

Zadanie 3.1. Wyznaczyć składowe tensora metrycznego a_mn we współrzędnych sferycznych w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Rozwiązanie. Pomiędzy współrzędnymi y^k układu kartezjańskiego y^l = x, y² = y, y³ = z i współrzędnymi x^k układu sferycznego X¹ = q, x² - 0, x³ = (p zachodzą następujące związki:

x = g sin 9 cos ę,

(1)    y = 5 sin 0 sin <p,

Z = Q COS 0 .

Obecnie korzystamy ze wzoru (3.9)

(2)

a

3

nui

dy^k

d?’

Jt = 1