str289

§ 3. TENSORY W PRZESTRZENI RIEMANNA    289

‘ oraz W^k obu ciał. Skła-= 4f, W³ = 1.

nkcie przecięcia się krzy-

i ^a33 = 1•

V^k oraz W^k

fi1.

/433.

inus kąta między wekto-

ory (1) i (2) poruszających

znym tensorem kowariant-

:nym tensorem kowariant-

> a_mn we współrzędnych yJ i zależnościami:

H.

3 K_r danego w układzie xV.

Odpowiedzi

1. a^mn — 0 dla m # n oraz a^il = 1, a²² = \, a³³ =

£²sin²0‘

2.    a™ = 0 dla m # n oraz a = 1, a = -r, a = 1.

r

3.    a_n = 1, aj₂ = a₂₁ = 2x², a₁₃ = a_3l =0, a₂₂ = 5(x²)², a₂₃ = a₃₂ = x²x³, ^a33 = 9+(x²)² .

4.    jc=

§ 4. Symbole Christoffela

Definicja 1. Linią geodezyjną w N-wymiarowej przestrzeni Riemanna nazywamy linię x^k = x*(l), której długość L zdefiniowana zależnością

(4.1)

>A

Hi

-dt

pomiędzy dwoma ustalonymi punktami A i B osiąga minimum.

We wzorze (4.1) e jest liczbą znakową, a_mn jest metrycznym tensorem kowariantnym przestrzeni, a t jest parametrem.

Własność 1. Tensor metryczny a_mn we współrzędnych ortogonalnych kartezjańskich ma składowe o następujących wartościach:

(0 dla m^n, dla m = n.

Własność 2. Linią geodezyjną w przestrzeni Euklidesa jest linia prosta.

Własność 3. Warunkiem koniecznym na to, ażeby linia x^f = x^r(t) była linią geodezyjną, jest, aby jej równania spełniały związek

d 8W dW

(4.3) gdzie

(4.2)

“-■{i

w = v.

dt dx^k dx^k °’

ea_„x^mx"    i x^k =

tfx*

Hi

Równanie (4.3) nosi nazwę warunku Eulera.

dx^m dxⁿ

Własność 4. Jeżeli V = sa_mn ——, to równanie różniczkowe linii geodezyjnej (4.3) możemy napisać w postaci (4.4)

dx^m 0/7 ,	dx^n
^m" dt	Hi’
d dv	dv
7teT^k~	dx~^k~:

19 — Wybrane działy matematyki...