str287

5 3. TENSORY W PRZESTRZENI RIEMANNA 287

Obecnie z zależności (3.12) znajdujemy składowe wektora E^k

5 3. TENSORY W PRZESTRZENI RIEMANNA 287

E^e = a^lnE_n

E^$ = a²ⁿE_n = E⁹ = a^ZnE_n =

1    d4>

i e$

q² sin²0 d<p

Zadanie 3.6. Wyznaczyć miarę bezwzględną wektora natężenia pola elektrostatycznego E^k określonego w układzie sferycznym. Dane, jak w zadaniu 3.5.

Rozwiązanie. Miarę bezwzględną wektora E^k wyznaczamy ze wzoru 3.15

E = Ja^mnE_mE_n.

Obecnie korzystamy ze wzorów na składowe tensora a^mn i wektora E_k przedstawionych w poprzednim zadaniu. Mamy zatem

\

Zadanie 3.7. Wyznaczyć pod jakim kątem przecinają się tory dwóch poruszających się ciał. Równania ruchu tych ciał dane są we współrzędnych cylindrycznych x*

(1)    X¹ = 2t, x² — t², x³ = t+2,

(2)    x* = f³—6,    x² = 2/² —7,    x³ = f+l.

Pierwsze ciało przebiega przez wymieniony punkt przecięcia się krzywych w chwili t_x = 1, natomiast drugie ciało w chwili t₂ = 2.

Rozwiązanie. Wyznaczamy współrzędne przecięcia się krzywych (1) i (2). Jest to punkt o współrzędnych X¹ = 2, x² = 1, x³ = 3.

Jak wiemy współrzędne kartezjaóskie y^k są związane ze współrzędnymi cylindrycznymi x* następującymi zależnościami:

(3)    y¹ = X¹ cosx², y² = X¹ sinx², y³ = x³'.

Z zależności (3.9) otrzymujemy składowe tensora metrycznego kowariantnego

(4)	Y ^dy^k dy^kflm"~ /
	k= 1
Są to wartości
(5) am„ = 0 dla m # n	oraz alx = 1, a22 = (x^1)^2, a33 = 1