str285

§ 3. TENSORY W PRZESTRZENI RIEMANNA 285

Wyznaczyć składowe tensora metrycznego kowariantnego a_m„ w danym układzie krzywoliniowych oraz składowe tensora a^m" z nim sprzężonego.

Rozwiązanie. Korzystając ze wzoru (3.9) i danych zależności (1) możemy napisać

.1\ 2    /a.,2\2    /a,.3\2

)^z-t-cos²x³,

*12

_ 5/ v V Sy²    1 2

^fl21    <5x² ć5x^ł tbc² dx^x dx²

dy^l dy' dy² dy² dy³ dy³    .    ₃

«13 = «3! =-irT-^3+zj:-^3⁺^T-o^{= sin2x} ’

dx^ł 5x³ fo¹ ćbc³ dx* dx³

,1\ 2    /a.,2\ 2    /a..3\2

dy¹ dy¹ Ćy² cy² 3y³ dy³

^{a23    032} ox² dx^{3 +} dx² dx³⁺dx² dx³

= 0.

dy_

dx^:

3\ 2

= (X¹)² sin²x³

Obecnie możemy wyznaczyć składowe tensora sprzężonego a^mn według zależności (3.7). W tym celu policzymy najpierw wyznacznik \a_m„\

(x²)² + cos²x³    x‘x²    —|x'sin2x³

x'x² (x‘)² + 4(x²)²    0

— |x¹sin2x³    0

a(x',x²,x³)= \a_mn\ =

(x¹)²sin‘"x

2 _v3

a(x‘, x², x³) = -^(xl)2-^+4(x2)2(x¹)²sin2x³ +

4

+ {[(x²)² +cos² x³] [(x¹)² + 4(x²)²] — (x'x²)²} (x‘)² sin² x³. Dopełnienia algebraiczne elementów a_m„ wynoszą A" =[(x¹)²+4(x²)²](x¹)²sin²x³> d¹² = d²¹ =-(x¹)³x²sin²x³, d¹³ = d³¹ = ix* [(x‘)² + 4(x²)²] sin 2x³, d²² = [(x²)² + cos²x³](x¹)²sin²x³-i(x‘)²sin²2x³, d²³ = A³² = — i(x^ł)² x² sin 2x³,

d³³ = [(x²)²+cos²x³][(x¹)² + 4(x²)²]-(x¹)²(x²)².

Dzieląc dopełnienia A^mn przez wyznacznik \a_mn\ otrzymujemy składowe tensora sprzężo

nego

a(xⁱ, x², x³)