8205

Przy przepływie przestrzennym, gdzie wyznaczamy składowe prędkości V_X,V_T,V, ciśnienie p i p jako funkcję współrzędnych x, y, z równania ciągłości wyprowadza się z równania masy płynu, która wypływa z elementarnego sześcianu o krawędziach dx, dy. dz .

&

©- pV_x +

dx

Nieustawny przepływ płynu ściśliwego gdzie gęstość p(x, y. z, t)=0. W czasie dt w kierunku osi x wpływa do elementu przez lewą ścianę o powierzchni dydz masa płynu pV_xdzdydi Przez przeciwległą

a(pvj

ściankę w tym samym czasie wypływa masa płynu. pV_x +

dx

dx

jdyc/zdr

przyrost masy w

a(pvj .

Analogicznie przyrost masy przy przepływie w kierunku y i z wynoszą: d(pV_y|    dl pV.\

dxdydzdt;—--— dxdydzdt ■ Suma przyrostów mas w elemencie płynu w kierunku

czasie dt w kierunku osi x pV_xdydzdt - pV_x +

dx Idydzdt = -    dxdydzdt

dx

dy

wszystkich osi:

dz

[~8(pvJ , Mpv_y), a(pu,) ^

dx dy dz

dxdydzdt. Równocześnie jednak mamy gęstość p

_dxdy_dzdl=^_dxdydzd,^₊^ęA₊^A₊^ęA₌o

dt    dt dx dy dz

która w czasie t wynosiła p(x,y,z.t). więc w czasie t+dt gęstość p(x,y,z,t+dt)=p+( Jp/ Jt)-dt. W czasie dt masa płynu wewnątrz elementu zmieni się od wartości p(dxdydz) do [p(Jp/Jt).dt]dxdydz. Stąd przyrost masy -pdxdydz+[p+(Jp; Jt)*dt]dxdydz = (Jp/Jt)dxdydzdt Porównując przyrosty otizymujemy:

pipy.), 3(pv_y) _< iApv,) _i

dx dy dz

{różnicowe równanie ciągłości ruchu nieustalonego płynu ściśłiwega

d(pVj f^V_I+dp_v

dz dz

V = f	, dp
^V*J	dx dx
rdV,	dp dz
J dz	dz dt
► dz	J^av- +'
dt ^+	^ a*

lub:

dy ^J dy dy ^{r J} dy Podstawiając do równania ciągłości

M₌f^i₊^Pv =    f^ji+^Pu ₌ f^avv ^aP^dy

dx ■* dx dx *    ■* dx dx dt dy J dy dy ^r dy dy df

dz

dp    dp dx    dp dy    dp dz    (dV_x    dV_y    dV, \    dp    ... -    ~

—-ł--rr- —+ pl +-7T--H-z— —0. —--hpdtvV =0

dr    dx dt    dy dt    dz dt    I dx    dy    dz J    dt ciągłości ruchu nieustalonego płynu ściśliwego.