45646 str307

§ 6. TENSORY KARTĘ ZJAŃSKIE 307

Własność 11. W przestrzeni dwuwymiarowej spełniona jest relacja

(6.12)

(6.13)

Własność 12. W przestrzeni trójwymiarowej spełniona jest relacja

' 3)    ^mrLmpą ^rp^są ^rą^sp •

Uwaga. Tensory kartezjańskie rzędu pierwszego będziemy krótko nazywali wektorami.

Obecnie przytoczymy szereg wzorów znanych z algebry i analizy wektorów w zapisie tensorów kartezjańskich.

Własność 13. Iloczyn skalarny I dwóch wektorów X_k i Y_k określa wzór

(6.14)

Własność 14. Iloczyn wektorowy W„ dwóch wektorów X„ i Y„ w przestrzeni trójwymiarowej wyraża wzór

(6.15)

Własność 15. Iloczyn mieszany V trzech wektorów X„, Y„, i Z„ w przestrzeni trójwymiarowej wyraża wzór

(6.16)

V = e_mnkX_mY_nZ_k.

Własność 16. Gradient E„ skalara U wyraża następujący wzór:

(6.17)

Własność 17. Dywergencję D wektora X„ wyraża następujący wzór:

(6.18)

D = X,

Własność 18. Rotację R„ wektora X„ w przestrzeni trójwymiarowej wyraża wzór

(6.19)

Własność 19. Laplasjan skalara U określa wzór

(6.20)

Własność 20. Laplasjan wektora X_k określa wzór

(6.21)

AX_k — X_knn.

Zadania przykładowe

Zadanie 6.1. Przedstawić za pomocą tensorów kartezjańskich, a następnie przeprowadzić dowód, posługując się językiem tensorów kartezjańskich, następujących znanych relacji wektorowych:

1.    rot (gradfp) == 0,

2.    div(ę> F) = divF+ Fgrad<p,

20¹