Image17

32

5.10. Rzucamy trzy razy monetą, polegającego na tym, że wyrzucimy:

a)    co najmniej 2 reszki,

b)    co najwyżej 2 orły,

c)    dokładnie jednego orła.

Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia

5.11. W urnie znajdują się 4 kule białe i 6 kul czarnych. Losujemy bez zwracania 5 kul. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy:

a)    2 kule białe i 3 czarne,

b)    co najmniej jedną kulę białą,

c)    co najmniej 2 kule białe.

5.12. Student umie odpowiedzieć na 80% spośród 25 pytań egzaminacyjnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odpowie na co najmniej trzy pytania z czterech wybranych losowo?

5.13. Trzech zawodników strzeliło jeden raz równocześnie do tego samego celu. Prawdopodobieństwa trafienia w jednym strzale są dla tych zawodników odpowiednio równe: 0,1, 0,2, 0,5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że cel został trafiony, jeżeli założymy, że zawodnicy strzelają w sposób niezależny?

5.14. W makabrycznej grze zwanej ruletką rosyjską umieszcza się w jednej z sześciu komór rewolweru bębenkowego nabój, pozostawiając pozostałe 5 komór puste. Następnie obraca się bębenek, celując rewolwerem w skroń i pociąga za spust. Ile wynosi prawdopodobieństwo pozostania przy życiu po zagraniu w ruletkę:

a)    jeden raz,

b)    n razy.

5.15. Rzucając kostką niejednorodną stwierdzono, że po 1000 rzutów przypada na każdą z liczb 1, 2, 3, 4, a jednocześnie 2000 rzutów dało liczbę 5 i 3000 rzutów liczbę 6.

a.    Obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia cyfry 6 w kolejnym rzucie. Jakie założenia trzeba w tym celu przyjąć?

b.    Jaka jest postulowana waga statystyczna poszczególnych rzutów?

c. Niech g(n) jest wagą statystyczną wyrzucenia n oczek w pojedynczym rzucie, gdzie n = 1, 2, ..., 6. Ile wynosi prawdopodobieństwo P(k) wyrzucenia cyfry kl

5.16. Dany jest układ 3 cząstek, przy czy znajdować albo w stanie a, albo b.

II

każda z cząstek może się

a.    Co to znaczy, że podany jest stan mikro, a co stan makro takiego układu. Podać przykład.

b.    Założywszy równe prawdopodobieństwo wszystkich stanów mikro (równe P_a), znaleźć prawdopodobieństwo dwóch dowolnie wybranych stanów makro.

c.    Znaleźć średnią liczbę cząstek w stanie a.

5.17. Dane są 3 różne rozkłady 19 cząstek w przestrzeni dwuwymiarowej:

Rys.3

Który z tych 3 stanów jest najbardziej prawdopodobny, a który najmniej przy założeniu a priori równego prawdopodobieństwa stanów mikro.

6. RÓWNANIE MAXWELLA I BOLTZMANNA

6.1. Wyprowadzić wzór na prawdopodobieństwo stanu makro:

Jaka jest interpretacja stałej C?

6.2. Opierając się na wyniku poprzedniego zadania wyprowadzić prawo rozkładu Maxwella-Boltzmanna.

6.3. Obliczyć stałą normującą C w rozkładu energii kinetycznej w układzie:

a)    o 1 stopniu swobody,

b)    o 2 stopniach swobody,

c)    o 3 stopniach swobody.

równaniu Maxwella-Boltzmanna dla