Image34

66

stąd

66

C,

2

+    * ^vo

C

— IV.

2

Wobec tego rozwiązanie szczególne równania różniczkowego jest wyrażone

wzorem:

z(t) =

X_ę

2

_eJm^t _{+ e} im

t

+ i

V

m

k

ii

V m

t

-Ji‘\ _

2

m

= cosh I — t + i v_a J™ sin/i i — t,

Zatem rozważane ciało porusza się po hiperboli o równaniu parametrycznym

x(t) = x_a cosh I — t,

' m

y(t) =

dla t ^ 0, które - po wyeliminowaniu czasu - można zapisać w postaci ogólnej

y

v

m

I

1

Dla k < 0 równanie charakterystyczne ma dwa rozwiązania zespolone

^ri = ¹

r-, =    — i

Otrzymujemy zatem rozwiązanie ogólne postaci

rm

¹ V m ^t _

z(t) = C, e'^Vm' + C

(C_A -f C₂) cos

m

t + i (C_t — C₂) sin

t.

Z warunków początkowych wynika, że

\ I + t>o

m

k

Ci =

Co =

2 ^,X

— V

m

k

skąd otrzymujemy rozwiązanie szczególne równania różniczkowego

z(t) = X. cos

k

m

t + i v.

m

k

sm

t.

Jest to równanie elipsy, które możemy zapisać w postaci parametrycznej

r

x(t) =

x_a cos

y(t) = v_t

m

k

t,

sm

t

dla t

0, bądź w postaci ogólnej

+

y

V

O

m

k

= 1

Sprawdzając warunek

rot F = 0,

łatwo wykazać, że rozpatrywane pole jest zachowawcze.