Obraz1 (130)

G. Polya, czy G. D. Birkhoff, którzy są zdania przeciwnego. Pierwszy podkreśla rolę słowa w myśleniu matematycznym, drugi twierdzi, że jego myślenie odbywa się w ten sposób, że wyobraża on sobie symbole i w wyobraźni tylko nimi manipuluje.

W nauczaniu musimy jednak uwzględnić przede wszystkim obiektywnie obserwowane fakty. Oto przykład: uczeń zgłasza się do nauczyciela: „ja nic z tego nie rozumiem”. Nauczyciel nie przyjmuje takiego zgłoszenia z zasady, ale żąda w każdym przypadku dokładnego sprecyzowania tego, czego uczeń nie rozumie. Doświadczenie dowodzi, że zmuszenie ucznia do próby werbalnego sformułowania tego, czego nie rozumie, kończy się niejednokrotnie okrzykiem „aha - już wiem” bez interwencji nauczyciela. Jeżeli „cicha mowa” jest ogromnie przyspieszoną i uwew-nętrznioną „mową głośną”, to zachodzi czasem potrzeba odwrócenia tego procesu zwolnienia „mowy cichej” i przekształcenia jej w „mowę głośną”. To zwolnienie ma duże znaczenie w procesie nauczania matematyki. Warto zwrócić uwagę na to, że nawet Hadamard, negujący rolę słów w myśleniu matematycznym, podkreśla ich znaczenie umacniające, nadające „stabilność naszym procesom intelektualnym”.

3. Czynność konkretna i operacja abstrakcyjna w nauczaniu matematyki

3.1. Konfrontacja operatywnego charakteru matematyki z psychologiczną koncepcją interioryzacji wskazuje dydaktyce matematyki specyficzną drogę, od konkretu do abstrakcji matematycznej”, drogę, którą nazywać będziemy „czynnościowym nauczaniem matematyki”. Punktem wyjścia dla takiego nauczania jest stwierdzenie, że:

1° Typowe elementarne struktury matematyczne są związane z pewnymi również typowymi operacjami, których konkretne źródła dostrzegamy już w prymitywnych czynnościach dziecka. Dla struktur algebraicznych taką operacją jest działanie, którego konkretną genezą jest przyporządkowywanie parom przedmiotów przedmiotu trzeciego, dla struktur porządkowych - ustalanie relacji porządkowych w abstrakcyjnych zbiorach i - jako geneza - porządkowanie konkretnego zbioru; dla struktur topologicznych odwzorowanie ciągłe i wzajemnie jednoznaczne i - jako geneza - czynność

rozciągania, kurczenia, odkształcania bez rozrywania itp.

2° Każda sytuacja w matematyce elementarnej nasuwa potrzebę wykonywania różnych, specyficznych już dla rozważanej dziedziny operacji abstrakcyjnych i towarzyszących im konkretnych zupełnie czynności, których rola jest rozmaita; czasem stanowią one pobudzenie jakiejś myślowej czynności, czasem tylko ją podpierają, ustalając to, co jest w myśli chwiejne, czasem ją tylko wyrażają (rysunek, zapis, spontanicznie tworzony model, gest itp.).

Dobór i organizowanie konkretnych czynności ucznia, i tych które powinny poprzedzać operację abstrakcyjną, i tych które powinny jej towarzyszyć, i tych które po niej następują, i kierowanie nimi jest więc ważnym elementem procesu dydaktycznego. Przygotowujemy się do tego procesu przez dydaktyczną analizę danej sytuacji matematycznej (definicja nowego pojęcia, nowe twierdzenie, dowód, konstrukcja, klasyfikacja itp.) mającą na celu ujawnienie tych czynności konkretnych, wyobrażonych, czy pomyślanych, które mogłyby się stać bądź pierwszym ogniwem przyspieszonej w procesie nauczania interioryzacji, prowadzącej do abstrakcyjnych operacji występujących w danej sytuacji matematycznej, bądź mogłyby służyć jej upoglądowieniu czy etapowej konkretyzacji myśli ucznia - łatwo gubiącej się w rozumowaniu bez takiej chwilowej stabilizacji - czy „wprawieniu w ruch” tego rozumowania, do czego często właśnie jakaś konkretna czy wyobrażona czynność wystarcza, itp.

3.2. Następujące przykłady zaczerpnięte z praktyki szkolnej ilustrują to postępowanie dydaktyczne w rozmaitych sytuacjach matematycznych.

a) Dydaktyczna analiza pojęcia liczby naturalnej w ujęciu teorii mnogości wysuwa na plan pierwszy dwie operacje: wzajemnie jednoznacznego przyporządkowania elementów dwóch zbiorów oraz porządkowania zbioru. W tym ujęciu liczba naturalna może być traktowana bądź jako skończona liczba kardynalna, bądź, jako skończona liczba porządkowa.

W niektórych aksjornatycznych teoriach mnogości (np. A. Mostowskiego). liczba kardynalna jest pojęciem pierwotnym; związek tego pojęcia z relacją równoliczności zbiorów ustala aksjomat. Analogicznym -odrębnymi - aksjomatem dla liczb porządkowych jest aksjomat ustalający

229