Obraz6 (45)

Zadanie G. Funkcja / jest określona wzorem

f{x) = log₃(x - 2) - 1.

a)    Wyznacz dziedzinę funkcji / i oblicz miejsca zerowe.

b)    Narysuj wykres funkcji y = \f{x)\ i rozwiąż graficznie nierówność \f(x)\ > I

Zadanie 7. Podaj interpretację geometryczną układu

f |a;| = \y\-x 1 \x\ + \y\ < 2

Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych spełniające ten układ.

Zadanie 8. Obrazem wykresu funkcji y = sina: w przesunięciu o wektor [—|,()| jest wykres funkcji g.

a) Narysuj wykres i napisz wzór funkcji g.

!>) Wyznacz miejsca zerowe funkcji g.

<•) Podaj przedziały, w których funkcja g jest rosnąca.

Zadanie 9. Dla jakich liczb a i b punkty A = (6,2) i B = (0,1) należą <k wykresu funkcji y = log₃(aa; + b)l

Zadanie 10. Wyznacz zbiór wartości funkcji

V =

1

—x² + x

+ 1.

Zadanie 11. Otwierając dwa zawory można napełnić basen wodą w ciągu 6 go dżin. Napełnianie przy otwartym tylko pierwszym zaworze trwa o 5 godzin kró< < i niż napełnianie przy otwartym tylko drugim zaworze. Oblicz w jakim czasie można napełnić basen otwierając tylko pierwszy zawór.

Zestaw XI

(Ciągi liczbowe)

Ziulanie 1. Ciąg (a_n) jest określony rekurencyjnie

( ax = 2

l ^an+¹ = an~ n(n+l) *

a) Wyznacz pięć początkowych, wyrazów tego ciągu.

I)) Znajdź taką liczbę x, aby ciąg (0,2, r, a₅) był ciągiem geometrycznym,

c) Podaj wzór na wyraz ogólny ciągu (a_n).

Zadanie 2. Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych, które są mniejsze od 1000 ■ .im:/ są podzielne przez 3 i niepodzielne przez 5.

Zadanie 3. Niech (a_n) będzie ciągiem arytmetycznym skończonym, a) Udowodnij, że + a_n-k+i = ai + a_n, gdzie l<k<nikeN.

I>) Wiadomo, że + as + <112 + «16 — 224. Znajdź sumę dziewiętnastu początkowych wyrazów tego ciągu.

Zadanie 4. Wiadomo, że suma n początkowych wyrazów pewnego ciągu (a_n) wyraża się wzorem

S_n = 2 n² + 3n.

a)    Wyznacz wzór na wyraz ogólny tego ciągu.

b)    Wykaż, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym.

Zadanie 5. Niech (01,02,03,04,05) będzie ciągiem geometrycznym o wyrazach 1 óżiiych od 0, a (05,603,2701) ciągiem arytmetycznym. Wyznacz wszystkie możliwi' wartości ilorazu ciągu (on).

Zadanie 6. Wiadomo, że miary kątów wewnętrznych pewnego wielokąta wypukłego tworzą ciąg arytmetyczny. Największy kąt ma miarę 171°, a różnica 6°.

a)    Wyznacz liczbę boków tego wielokąta.

b)    Ile przekątnych ma ten wielokąt?

Zadanie 7. Liczby a, 6, c tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny o różnicy 5 Liczba a jest wielokrotnością liczby 5. Uzasadnij, że iloczyn abc jest wielokrotnością 750.