Odpowiedzi i wskazówki Zad !1 213

I

211. a) x = -Ą-kn lub X = — — Ą-lcn,

3    3

JćTZ

b)    x —    Wskazówka: skorzystaj ze wzoru a⁴+ó⁴ = (a²-f ó²)² —

-2 a²b\

c)    x = 90°+/c-360° lub x = -36°52'+7c-360°, lub aj = 216°52^/ + &-360°,

n

d)    x — Jen, e) x — Jen, f) x — —+2Jen,

Jj

g)    x = Jen lub x = ~ (4fe+1), lub a; = — (47c—1) lub a: = -(8&+])_?

^    *4

jr    •

lub a; — — (87c — 1), lub x — — (8/c + 3), lub x = — (87c + 5),

4    4    4

h)    aj = ^(2fc+l).

o

n 2Jen

212. a) x — 2kn lub x = y-j——,

n Jen    n Jen

b)    a; = — ---1--lub a: =--1--,

'    12    2    18    3

2Jcn

c)    x —- lub x — —n-\-2Jen.

5

d)    Rozwiązanie: Wyznaczamy najpierw dziedzinę równania. Jest nią

n

zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych x, dla których 3;c # ■- + nn

Jj

i 2a; # ma, m, n e C,

n    nn    mn

czyli x — -f -r- i ® #---, m, n e C.

6    3    2

Równanie tg 3a; = ctg2a; jest więc równoważne układowi:

tg 3* = tg (--2* n nn

^x ź

6    3

stąd

3* — 2x4-kn

2

n nn

x # —| , Je, m, n s C

6    3

mn

^X*~T

i dalej

n Jen

^x ~ TcT ⁺ lf

n nn

x    —I--

6 ^r 3

Należy teraz zbadać, które z liczb postaci -yy-j

kn

— należą do dziedzi-

5»+l

ny równania, czyli dla jakich k zachodzą związki:

n    kn    n    nn    n    kn    mn

1)--[____ ^---1--i 2)--1--- +-.

10    5    6    3    10    fi    2

Z warunku 1) wynika: 3 + 6# 5+10n, czyli k +

5 m

Z warunku 2) mamy: 3 + 6& + 15m, czyli k +-

Łatwo stwierdzić, że ten warunek jest spełniony dla każdego k, m e C. Ostatecznie: rozwiązaniem równania jest zbiór wszystkich liczb rzeczy-

n kn

wistych x mających postać: x —--1---, gdzie k oznacza liczbę eał-

10 o

5n + 1

kowitą różną od liczby---—, n e C.

n    n

e) x =--1-kn lub x —--1-kn,

2    4

f) x —---1-kn lub x =--1——, lub x =--{-kn,

’    0.    S 9    X

g)    * = —(2&+1),

16

nk    ,

h)    x —--i k + 3w, gdzie k, weC,

3

i)    równanie nie ma pierwiastków,

n kn    n    5n

i) x — —I--lub x —--hkn, lub x — ——Ą-knr.

42    12    12

213. a) *

' 2 kn ~~3

kn

c) x —--lub x =

3

lub x — kn, b) x n

Jć'7l    7Z

—— lub x = — + 2kn, lub x = -~-+2kn,

In

kn, lub x =--\~kn,

12 ' 12

n kn    n    , ,    n    2kn

d) x = -— + —£- ^x ~ —+ 2kn, lub a: = —y-j—— ,

3Z    Jc7Z    JT'

e) x = kn lub x = -—|--, f) a: = kn lub x = — + kn,

8    2    4

kn

T ’

n    n    2 kn

h) x — —{-kn lub x =---1—

2    6    3

173