Odpowiedzi i wskazówki Zad !4 226

214. a) x — -Ą-2kn lub ® = 2k7t, b) ® = 53°08'+A:*360^o,

o) * nr, l°03'-j-&-360^o łub X = 5S⁰57'-f£n360°,

71    5 71

d) x ■=---1-2kn lub x =--(-2/07t,

’ 12 12

©) x = 59°02'-(-fc-180^o,

TT.

f)    x = —\-2łc7i lub x = 2kn,

2

g)    x — — — -(-2A;7j lub x = 2/.’7r, lub a; = ——

h) x

■90° + /c-360° lub x = 36°52' + £-360°.

215. Rozwiązanie: Niech ct₁, q oznaczają odpowiednio pierwszy wyraz i iloraz

ciągu geometrycznego. Wówczas a_x = tg®, q = tg²®. Równanie przyjmuje

, ,    , , tg® V3

1—tg²®    2

otrzymujemy: tg® <= — 4/3 lub tg®

. Rozwiązując równanie względem „tg® a/3

wtedy postać

Aby istniała suma nieskończonego ciągu geometrycznego, iloraz g musi spełniać warunek \q\ < 1, czyli tg²® < 1, stąd — 1 < tg® < 1. Ten warunek

spełnia jedynie tg x -=    .

W takim razie x k7i

n    tcTi    Ti kn

216. x *=----lub ® = ——-f

18    3    18 ^    3

217.    Dla-— ^ a ^ 1. Wskazówka: patrz zadanie 211 b).

218.    Dla — V2 < a < V¥

219.    a) Rozwiązanie:

sin(®—aj — sin® —sina    [sin(®—a)-j-sina] — sin® = 0 o

2sin—eos( —~a) - sin® = 0^2 sin —cos

-2sin—cos_fi 2    2

0

X	r /	'z ^	®‘
¥	cos	H	—cos— 2

. <c		®	a \ . /	a V
2sm— 2	— 2smf	¥	--Isin ^2/ \

„    . . x . / ® a

— 0 o 4sm— sm----

2 \ 2 2

“i = °-

b) równanie ma rozwiązanie dla każdego m.

224.

X sin— = 0 2	lub	• r ^8111 [2	a \ -- = o, 2)	lub
U			11
x — 2kn	lub	X =	a-\-2kn,	lub

o

u — — 0.

2

V

i — 2 Jen.

Odpowiedź: jeśli a ^ 2len, to pierwiastkami równania są liczby postaci x — a-\~2kn lub x = 2kn;

jeśli a = 2Jcn, to pierwiastkiem równania jest każda liczba rzeczywista. n

b)    jeśli a # len i a ^ —|-kn, to x = a-\-kn lub x = kn;

2

jeśli a = kn, to pierwiastkiem równania jest każda liczba rzeczywista; n

jeśli a = —\-kn, to równanie nie ma rozwiązania.

2

c)    * = a-\-kn.

2n    2 n

220.    Dla o =--\-2kn lub a —----\-2kn.

3    3

221.    Dla —2 ^ m 2. Wskazówdca.: niech sinrc = t.

Mamy wówczas równanie: mt² + 2t—2m — 0. Równanie to ma pierwiastki, gdy A 0. Ponieważ jednak i spełniać musi warunek: — 1 ^ t ^ 1, więc dane równanie ma rozwiązanie tylko wówczas, gdy:

A ^ 0    ( A > 0

— 2 -\-\f~A    ^ , lub

-1

— 2 — A

-1 <-—— < 1.

2 m    "    l " 2m

Rozwiązując oba układy nierówności otrzymamy odpowiedź.

a) gdy m = 0, to x = kn; gdy m — 1, to x = kn lub cos²a?

1 + Vl7

223.

\/3    -\/ 3

a) Dla — ■——    m ^-. Wskazówek a: skorzystaj ze wzorów:

^{2 l}'g o

1 —tg²-

l+t|

2

x

^1+t*i

Dla o — — 2

225.    Nie istnieje. Wskazówka: rozwiąż najpierw równanie.

226.    W skazo w k a: przekształcając dane równanie otrzy mamy równanie równoważne : a cos²a;-j-ó cos x—a — 0, którego rozwiązaniem jest suma roz-

175