P3200117

7(j    1. Zagadnienia wstępne

7(j    1. Zagadnienia wstępne

N i ech ,v, , v■, ₍.....x_ni będą pomiarami cechy X, (j = 1, 2,...,p) wykonanymi na n

obiektach. Zbiór tych wartości stanowi kolumnę j w macierzy danych X. Będzie

my go przedstawiali w postaci wektora kolumnowego x ₍ = [x,₍., x_2/,..., x_nj]'. Średnia arytmetyczna tych pomiarów, oznaczana przez x _r dana jest wzorem

6 = 1.2,..., p)    (1.4)

Dla macierzy danych X można więc zdefiniować kolumnowy wektor średnich

u

= -X’l„    (1.5)

n

_ *2 X =

X

_ p

gdzie 1, jest kolumnowym wektorem jednostkowym [1,1,- - • ,1]

W ektor średnich jest punktem ciężkości wielowymiarowego układu danych i nosi nazw ę centroidu (ang. centroid).

Wariancję cechy j będziemy oznaczali s_;² = S- i obliczali w dobrze znany sposób ze wzoru

^s*    (; = 1,2,...,p)    (1.6)

Odchylenie standardowe (s. = Js~) jest pierwiastkiem z wariancji. Wariancje są elementami na przekątnej macierzy kowariancji S (wzór 1.14).

Ważną rolę w analizie wielowymiarowej spełniają przetworzone macierze obserwacji. Może to być na przykład macierz danych centrowanych (ang. centred data matrix)

X„ = X-l,x’    (1.7)

gdzie 1₁ jest kolumnowym wektorem jednostkowym (n X 1).

Otrzymujemy ją z odjęcia od wartości każdej z kolumn, reprezentujących określoną zmienną X_r ich wartości średnich, x, — x. dla i = 1.....n. |est oczywiste,

że suma elementów w każdej kolumnie macierzy X„ jest równa 0, a w ślad za tym wartości średnie zmiennych centrowanych będą równe x_J(O)=0. Wariancje zmiennych centrowanych nie ulegają natomiast zmianie, s²(x _j(0]) = s³(x,). P⁰' dobnie jak nie zmieniają się kowariancje i korelacje między zmiennymi.