PC043374

60

1- Repatytnrim

Aby wyznaczyć funkcję odwrotną do danej funkcji/, trzeba najpierw spraw-dzić, czy jest ona odwracalna (czy jest bijekcją). Wówczas należy rozwiązać równanie: y - f(x), w którym niewiadomą jest x. Otrzymujemy zależność x -giy), gdzie g = / ¹ jest szukaną funkcją odwrotną.

Przykład 1.55

Z przykładu 1.54 wiadomo, że funkcja/(z) = 2x + 1 jest bijekcją, zatem jest odwracalna. W celu wyznaczenia funkcji odwrotnej oznaczamy zmienną z* leżnąy i z równania y = 2x + 1 wyznaczamy a, otrzymując x = -^y-^ Zatem funkcja odwrotna ma wzór g(y) = f~^l (y) = y y — jr. Ponieważ zmienną niezależną oznaczamy zwykle przez jc, to po zmianie oznaczeń (x zastępuje* otrzymujemy f~

| Uwaga 1.20. Wykresy funkcji fi f^l są symetryczne względem prostej o równaniuy =.v (por. ilustracja 1.20).

1.4.3. Złożenie funkcji

Definicja 1.46. Jeśli dane są funkcje f:X -* Y oraz g: Y Z, to istnieje funkcja h:X Z określona wzorem h(x) = g(f(x)) nazywana złożeniem (superpozycją) funkcji wewnętrznej / i zewnętrznej g.

Złożenie funkcji oznaczamy symbolemg °f, tzn. (g °f)(x) =g (/(r)).

U Uwaga 1.21. Złożenie dwóch funkcji jest możliwe także wtedy, gdy zbiórwar-tości funkcji wewnętrznej zawiera się tylko w dziedzinie funkcji zewnętrznej.

Przykład 1.56

Dane są funkcje/(x) = 2x +1 orazg(x) =Ul. Ponieważ zbiór wartości funkcji /jest równy dziedzinie funkcji g, istnieje złożenie g o / Możemy wyznaczyć postać tego złożenia: (g °f) (x) =g(/(x)) = |2x + l i. Ponieważ zbiór wartości funkcji g zawiera się w dziedzinie funkcji/, to również istnieje złożenie/o g i przyjmuje postać f(g(x)) = 2 U1+1. Przykład ten ukazuje, że złożenie funkcji nie jest przemienne, tzn. £ °/ */° g.

U Uwaga 1.22. Istnienie złożeniag °/nie implikuje istnienia Złożenia/°g i odwrotnie.

1.4.4. Parzystość i nieparzystość funkcji

Definicja 1.47. Zbiór^ cR nazywamy symetrycznym względem zera. jeżeli:

V -xeA.

XGA

Definicja 1.48. Funkcję/określoną na zbiorze D_f nazywamy parzystą, jeżeli Dyjest zbiorem symetrycznym względem zera oraz/(-Jc) = f(x), tzn.

J: [-*« D_f a/(-.v)=/(x)] -