str023

52

79.    Wskazówka: skorzystać z równości

{a}=n(«-I,a].

n=l

80.    Niech / będzie funkcją zdefiniowaną w rozwiązaniu zadania 78. Wystarczy

położyć o =    6 = 1, c = 0, d = J.

81.    Niech n = lim_n_eoPn> gdzie /i_n jest miarą dla dowolnego n £ FI. Warunki = 0 i jeśli A C B, to ji(A) < ^(5) wynikają bezpośrednio z definicji miary

H- Niech będzie'dany ciąg zbiorów    parami rozłącznych. Wówczas łatwo

sprawdzić, że

U ^‘)

i=l    i=l

Stąd wynika, że dla dowolnego k 6 N

CO    k

KU-⁴*)    - ■

i=1    »=1

a więc

^(U ^Ai)

i=i    1=1

82.    Niech X = N, 0 < aj, <1 dla dowolnego i £ N i Y1T=\ ^{at <} 00• Dla dowolnych n, k £ N definiujemy

_b ^ _ f <*»,    gdy t < n,

l 1,    gdy k > n.

Dla dowolnego n £ N, dla dowolnego £cM niech

/*n(£) ⁼ Łut-

-•    L-e e

Z własności przemienności i łączności szeregów bezwzględnie zbieżnych wynika, że jeżeli ^4^, Aj    C N i A,- n Aj    =    0 dla    i yt    j,    to /r»(U~i Ai) = Hhzi Pn(Ai)    dla

dowolnego n    £ N, a zatem fi_n    jest miarą    dla n    £ FI. Ciąg {Mn}neN jest nierosiiący

i dla dowolnego .4 C N istnieje

lim    m:4) = M(A) =    (    ^{gdy £ jest skończony}-

ⁿ~°°    l    co,    gdy E jest nieskończony.

Mamy

°°=KUw) >E^))=E^

<=i    i=i    (=i

A zatem p nie jest nawet miarą zewnętrzną.

83. Jeżeli A £ linin—oo OT_n. ^to dla dowolnego i € N istnieje naturalne r»i takie, ie .4 € 971,,,. Dla dowolnego Z C X, /iń,(Z) = n'_ni(Z H A) + /<ń,(Z - A). Stad, przechodzą^ z * —* +oo, otrzymujemy, że .4 6 9JI.

84.    Wskazówka. Skorzystać z równości lim„__w A„ = lim„_oofin. gdzie B„ =

U ?_mAi-

85.    Wskazówka: skorzystać z równości

LM* ⁼ U ' ^{gdzie <n 6} T< ^{<n < <n+1 d}^^{a n e} N i Jdrr^ i_n = i₀.

i eT    n£H

86.    Niech P będzie rodziną składającą się ze zbioru pustego i n-wymiarowych przedziałów otwartych. Połóżmy t(P) = n?=i(^”“°<)i gdzie P = {(*i,*2, ••. ,«_n):

< X{ < bi. i = l.....n}. Zauważmy, że miarę zewnętrzną Lebesgue’a fi* otrzy

mujemy przez zastosowanie do rodziny T i funkcji r wzoru (*) z zadania 14. Aby wykazać, że /i" jest metryczna, wystarczy sprawdzić, że zachodzi warunek (*) z za-dauia 70. A zatem rodzina V składa się ze zbiorów //-mierzalnych, a więc // jest miarą zewnętrzną regularną.

87.    Odpowiedź: funkcja f(x) = x dla * g 1.

88.    Niech ,4 C (o, 6) i A C (c, d). Można wyróżnić trzy przypadki. Zauważmy, że wystarczy rozważyć przypadek (a, 6) C (c, cl). Przy dowodzie równości

b — a — fi'{(a,b) - A) = d - c - // {(e, d) - A)

—/

skorzystać z zadania 32.

89.    Wskazówka: skorzystać z zadań 86, 22, 88 i 31.

/90. Z definicji // wynika, że dla dowolnego Ac®

co    co

■    /j"(.4) = inf { Y1 \^pi\ ^: A c U Pi, Pi-przedzialy otwarte),

t=l    isl

przy czym

n

\Pi\ = ]>< ~ °<), ^={(*i.....*„): cii < x₍ < bj, i = l,...,n).

i = l

Stąd, ponieważ (J” i Pi jest zbiorem otwartym, otrzymujemy

inf{/i(G) : A c G, G zbiór otwarty) < /x*(A).

Jeśli .4 C G. to /i"(A) < /i(G), a zatem

/i*(A) < inf{/x(G) : .4 C G, G zbiór otwarty.)

t •

Stąd wynika żądany wzór.

91. Wskazówka: skorzystać z zadań 44, 86 i 90.