str023

79. Wskazówka: skorzystać z równości

80.    Niech / będzie funkcją zdefiniowaną w rozwiązaniu zadania 78. Wystarczy położyć a = b = 1, c = 0, d =

81.    Niech p = lim_n_oo pn, gdzie p_n jest miarą dla dowolnego n € N. Warunki P(B) = 0 i jeśli A C B, to p(.4) < p(fl) wynikają bezpośrednio z definicji miary p. Niech będzie'dany ciąg zbiorów {.4„}_ngft parami rozłącznych. Wówczas łatwo sprawdzić, że

Stąd wynika, że dla dowolnego k 6 N

OO

k

a więc

00

co

82. Niech X = N, 0 < o* < 1 dla dowolnego t g N i YlT-i < oo. Dla dowolnych n.tgN definiujemy

.    _ f o*,    gdy i < n,

“ l 1,    gdy Jfc > n.

Dla dowolnego ngN, dla dowolnego £cN niech

Pn(E) = ⁶nł-

Z własności przemienności i łączności szeregów bezwzględnie zbieżnych wynika, że jeżeli A,-, Aj c N i A,- O Aj = 0 dla i * j, to p^U^r 4) = E“i P»(A,) dla dowolnego n 6 N, a zatem p_n jest miarą dla n g M. Ciąg {p_n}ngn jest nierosiiący i dla dowolnego .4 C N istnieje

gdy E jest skończony, gdy E jest nieskończony.

lim p„(A) = p(A) = f ^^łe*^a*’

n-oo    oo,

Mamy

.    <=i    i=i

A zatem p nie jest nawet miarą zewnętrzną.

83. Jeżeli .4 E lim,,-,*, 9Jl_n, to dla dowolnego i E N istnieje naturalne n< takie, że .4 E 97t„,. Dla dowolnego Z C X, /i*.(Z) = n’_n.(Z Ci A) + n‘_n.{Z - A). Stąd, przechodząc z i —► +oe, otrzymujemy, że .4 6 UR.

84.    Wskazówka. Skorzystać z równości lim,,—*, A_n = lim„—*, B_n, gdzie B„ =

USnA.

85.    Wskazówka: skorzystać z równości

1J .4, = IJ A₍„, gdzie t„ ET, t„ < i„+i dla n E N i Jm^ t_n = t₀.

(6T ngH

86.    Niech P będzie rodziną składającą się ze zbioru pustego i n-wymiarowych

przedziałów otwartych. Połóżmy r(P) = n”=i(&i^—°i)i gdzie P =    ... , !•„):

«,• < X{ < bi. i = 1.....n}. Zauważmy, że miarę zewnętrzną Lebesgue’a n' otrzy

mujemy przez zastosowanie do rodziny V i funkcji r wzoru (*) z zadania 14. Aby wykazać, że p" jest metryczna, wystarczy sprawdzić, że zachodzi warunek (*) z zadania 70, A zatem rodzina V składa się ze zbiorów p*-mierzalnych, a więc fi' jest miarą zewnętrzną regularną.

87.    Odpowiedź: funkcja f(x) = a: dla * El.

88.    Niech ,4 C (o, 6) i A C (c, d). Można wyróżnić trzy przypadki. Zauważmy, że wystarczy rozważyć przypadek (a, 6) C (c, cl). Przy dowodzie równości

b - a - fi’{(a, b) - A) = d - c - / {(c, d) - A) skórzystać z zadania 32.

89.    Wskazówka: skorzystać z zadań 86, 22, 88 i 31.

/90. Z definicji /z’ wynika, że dla dowolnego A Cl

co    CO

•    = inf | ^ |Pj| : A C Pi, P,-przedziały otwarte},

i=l    i ssl

przy czym

n

|P.| =    ^={(*1.....x_n): Cli < Xi <bi, i = l,... ,n).

i ssl

.. . > • ■

Stąd, ponieważ _t Pi jest zbiorem otwartym, otrzymujemy

inf{/z(G) : .4 C G, G zbiór otwarty) < p*(A).

Jeśli .4 C G. to *(A) < p(G), a zatem

P*(-4) < inf{p(G) : .4 C G, G zbiór otwarty.)

Stąd wynika żądany wzór.

91. Wskazówka: skorzystać z zadań 44, 86 i 90.