42593 skrypt005 (2)

8

podzbioru (n), nazywanego populacją próbną. W populacji tej najlepszym estymatorem skupienia jest średnia arytmetyczna (xf), natomiast estymatorem rozproszenia, odchylenie standardowe s. Należy podkreślić, że w statystyce używa siy* wielu innych estymatorów skupienia i rozproszenia. Ponieważ liczebność populacji próbnej (n) jest mniejsza od liczebności populacji generalnej N, to miara skupienia (x) i rozproszenia (s) nie jest taka sama jak w populacji generalnej (tzn. (|I) oraz (a)). W miarę wzrostu liczby pomiarów, miara skupienia { \) w populacji próbnej dąży do wartości parametru (fi) w populacji generalnej, natomiast odchylenie standardowe (s) do wartości (o). Obie te wielkości można obliczyć z zależności (1.2):

8

gdzie:

n - liczba pomiarów,

x. - kolejna wartość pomiaru.

Estymatory miary skupienia i rozproszenia winny spełniać określone warunki. Muszą one być zgodne tzn. dążyć do wartości estymowanego parametru, gdy liczba pomiarów rośnie. Jeśli wartość oczekiwana estymatora równa się wartości szacowanego parametru, to estymator taki nazywa się nieobciążonym. Najbardziej efektywnym estymatorem jest taki, którego kwadrat odchylenia standardowego (wariancja) liczony względem szacowanego parametru jest najmniejszy. Warunki te spełnia średnia arytmetyczna jako estymator wartości ji. Odchylenie standardowe jest natomiast estymatorem obciążonym. Estymator nieobciążony otrzymujemy po podzieleniu odchylenia standardowego przez liczbę pomiarów pomniejszoną o jeden.

Estymacja przedziałowa polega na obliczeniu wartości przedziału wokół estymatora, w którym to przedziale zwanym przedziałem ufności, znajdzie się estymowany parametr z przyjętym prawdopodobieństwem, zwanym poziomem ufności. Przedział ten konstruuje się wykorzystując statystykę Studenta. Dla małej liczby pomiarów (n < 30) odchylenie standardowe średniej nie podlega bowiem rozkładowi normalnemu. Przedział ufności dany jest zależnością:

(1.3)

_ s _ _ s x - t - — <\i < x +1 •—=T

vn    Vn

gdzie:

n - ilość pomiarów, x - średnia arytmetyczna wyników,