65035 skanuj0022 (188)

tj. zbiór osi zwykłych i osi inwersyjnych. Środek symetrii oznacza się symbolem f, lecz symbol m przypomina, że oś inwersyjna 2 działa również jak płaszczyzna zwierciadlana. Należy zauważyć, że wszystkie pozostałe elementy nie są jednak niezależne, gdyż 3 = 31, 5 = 51, 6- 3/m itd.

Można uogólnić równoważności i sformułować reguły:

1.    oś inwersyjna o krotności 4/2 jest identyczna z osią przemienną o tej samej krotności;

2.    osie inwersyjne o innych krotnościach parzystych (4//+ 2) są identyczne z osiami przemiennymi o krotności (4/2 + 2)/2; są to także osie zwykłe (2/2+1) prostopadłe do płaszczyzny zwierciadlanej;

3.    oś inwersyjna ó krotności nieparzystej (2/2+1) jest równoważna osi przemiennej o krotności 2(2/2+1); może to być także oś zwykła o krotności (2/2+1) i środek symetrii.

Całkowicie ogólnie:

(4/2 + 2) = (2/2 + 1) = (2/2 + 1)//Z2 (2/2 + 1) = (4/2 + 2) = (2/2 + 1) • 1 przy czym n może być każdą liczbą całkowitą, łącznie z 0.

1.1.5. Współistnienie elementów symetrii

l.l.S.1. Grupa symetrii

Jeżeli zbiór ma jeden lub więcej elementów symetrii, operacje symetrii tworzą grupę w sensie matematycznym. Istotnie, wykazują one właściwości grupy (rys. 1.10).

1.    Iloczyn (tj. kolejne zastosowanie) dwóch lub większej liczby operacji symetrii grupy jest zawsze operacją symetrii tej grupy. Ponadto, iloczyn kilku operacji (.A, B, C) powinien wykazywać cechę łączności: A(BC) = (AB)C.

2.    Istnieje operacja „tożsamość”: jest to operacja 1.

3.    Każdej operacji odpowiada operacja odwrotna, taka że iloczyn tych operacji jest równy 1; X-X~¹ = 1; X~^x jest obrotem o kąt (2n—2n/X), a także, co jest identyczne, obrotem równym X, lecz o odwrotnym kierunku; m² = 1; c² — 1: odbicie i inwersja są więc własnymi odwrotnościami.

4.    Każdemu elementowi symetrii odpowiada podgrupa cykliczna, gdyż wszystkie człony tej podgrupy są iloczynami dwóch spośród nich.

Przykłady:

podgrupa środek symterii: 1, c; c² = 1

podgrupa płaszczyzna zwierciadlana: 1, m; m² = 1

podgrupa oś 4: 1, 4, 4², 4³; 4⁴ = 1

26