6 (21)

94

5. Różniczkowanie

Jeśli a < x < y <: c. tojak wynika z twierdzenia 5.9, istnieje punkt t e (x, y) taki, że

(18)

m-m jm ^ „

d(x)-g(y)    g'{t)

Przypuśćmy, że warunek (14) jest spełniony. Widzimy, że przy x dążącym do a we (18), zachodzi

(19)

gg

Wi

Kr < ą (a < y < ć);;

Przypuśćmy teraz, że spełniony jest warunek (15). Przyjmując, że y we wzorze (lAfl ustalone, możemy znaleźć taki punkt c_x e (a, y), że g(x) > g(y) i g(x) > 0 Jeśli a < x < A Mnożąc (18) przez [gr(x)—0(y)]/g(x), otrzymujemy

(20)

g(x) ?(x) g{x)

Jeżeli w (20) x dąży do a, to jak wynika z (15), można znaleźć punkt c₂ e (a, ci) taki, ■

tS&Z jfc ***** ■ « "*m

Podsumowując dotychczasowe rozważania możemy powiedzieć, że ze wzorów (19) wynika, iż przy dowolnym q, które musi spełniać tylko warunek A <q, istnieje punkt c₂ tałJ że f{x)/g(x) < q, jeżeli a < X < c%.

W identyczny sposób, w przypadku gdy — có «£ 4 < + oo, a p jest wybrane tak,że p <■ znajdziemy punkt c₃ e (a, b) taki, że

■■na ■ ■Dwid. >

■P'

ur»

Hann:

(22).

^P<^f (aj|

■ dowód mifi.Tf,

Z tych dwu związków wynika (16):

Pochodne wyższych rzędów

5.14. Definicja. Jeżeli/ma pochodną/' w pewnym przedziale i jeżeli funkcja/ć ,z.k olaB jest róźmczkowalnaj to pochodną funkcji/' będziemy oznaczać przez$lbk nazywać drugą I pochodną funkcji f Postępując dalej w ten sposób, otrzymamy funkcje    kz któ-|

rych każda jest pochodną poprzedniej. Funkcję/W nazywamy n-tą pochodną lub pochodnM rzędu n funkcji /.

Na to, abyp^il(x) istniała w punkcie x, pochodnaj>^- ’>(f) musi istnieć w pewnym otoczeniw punktu x (lub w otoczeniu jednostronnym, jeśli x jest końcem przedziału, na którym funkcjajw była określona) i powinna być różniczkowalna w punkcie x. Przy tym/^tn-2) powinna byćl różniczkowalna w tym otoczeniu punktu x, w którym istnieję

■ Liczba \f by = Odia pe

i^7Jⁿ0 dla p

R

I 5.16. Uwagi. I ifeicji zespolone. Mw mocy, podobni ■pojoną funkcji / i esczywistymi, to