2080

Twierdzenie (o istnieniu k-tęj różniczki)

Zakt/eTopR",

/:£/-> R

oraz

istnieją wszystkie pochodne cząstkowe A:-tego rzędu funkcji/w U.

Teza: Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe rzędu k funkcji/są ciągle na zbiorze U, to feC‘

oraz

rf,v ^ ⁸‘^    (x)-l( h,] ■ ■/!*, gdzie xeU,

tzn. funkcja posiada ciągłą pochodną rzędu k oraz wartość A-tej różniczki w punkcie x jest równa siunie pochodnych cząstkowych pomnożonych przez odpowiednie współrzędne kolejnych wektorów z R".

Twierdzenie (o równości pochodnych mieszanych)

Zal:t/eTopR\

/:£/-» R.

*₀eU.

Teza:

I ° Jeśli funkcja/ma i-tą różniczkę w punkcie x₀, to i-te pochodne cząstkowe tej funkcji w punkcie nie zależą od kolejności zmiennych, tzn,

Qk r    d* f

3d‘f => VP, P - pennutacja i - elementowa:    ¹    (jr₄)= ^J (_v₀)

2° Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe tzędu i fimkcji/istnieją i są ciągle w punkcie ,v«, to

d* f    d* f

V P, P- pennutacja k - elementowa:    (.r₀) =    (.r₀)

dx. ...dx. dx, ...dx.

'i    '*    'Atu M*)

czyli również w tym przypadku możemy zmieniać kolejność liczenia pochodnych cząstkowych w'zględem ustalonych zmiennych, a pochodne te nie zmieniają się.

Uwaga

Pochodne występujące _w tezie powyższego twierdzenia nazywamy pochodnymi mieszanymi.

2