87877 scan

7.2. Statycznie niewyznaczalne przypadki skręcania

W przypadku, gdy skręcany pręt jest obustronnie utwierdzony w przekrojac końcowych, mamy do czynienia z układem statycznie niewyznaczalnym. W rozwiązania takiego układu przyjmujemy schemat zastępczy, statycznie wyznaczair zwalniając jedną z podpór. Oddziaływanie odrzuconej podpory na pręt zastępuje nieznanym momentem. Dla otrzymanego schematu układamy równanie równov oraz równanie kąta skręcenia przekroju podporowego. W rzeczywistym układzie skręcenia przekroju podporowego jest równy zeru. Otrzymane warunki umożliwiaji nam rozwiązanie zadania.

We wszystkich zamieszczonych poniżej przykładach długości prętów podane sąwm.

Przykład 7.3

Rura obustronnie utwierdzona jest obciążona jak na rys. 7.4a. Wyznaczyć jej ] nośność z warunku wytrzymałości i sztywności. Sporządzić wykresy momentów i skręcających i kątów skręcenia.

Dane:    G = 80GPa, f*= 125 IWPa, ©**,=0,4°

Mb

M_a

m₈

/Si__________
n 1.0	T«=7 I F+* 1.2 . I
Ma

0,11m₈

Rys. 7.4a

Rura o średnicy zewnętrznej D = 108mm - 10,8cm i grubości ścianki g = 6 mm = 0,6 cm. Średnica wewnętrzna rury: cf= D-2 g

d = 10,8 -1,2 = 9,6 cm Biegunowy moment bezwład-] ności:

Jo=H[(¹°.⁸)^<-(⁹.6)''] =

= 502cm^Ą - 502-10‘^am⁴.

Równanie statyki:

2=0.

Mamy jedno równanie i dwie niewiadome, zatem układ jest statycznie niewyznaczal-ny. Należy zwolnić jeden więź, np. podporę B, przyłożyć całe obciążenie, które działa na pręt i napisać równanie opisujące kąt skręcenia w punkcie B. W rzeczywistym układzie kąt ten musi być równy zeru.

(a -_4_g- - n

GJ. ~°-

Z powyższego równania wyznaczamy wartość momentu utwierdzenia:

M_a- 0,11 m₉ kNm,

a z równania statyki:

M_b = 0,49 m, kNm.

Przyjmujemy początek osi x na podporze A i zapisujemy równania momentów skręcających i kątów skręcenia.

0<,x<1

© =

-M_ax

GJ₀

Wypadkowa momentu skręcającego rozłożonego w kształcie trójkąta jest równa polu tego trójkąta. Dowolną rzędną obciążenia trójkątnego obliczymy z proporcji:

m₈(x) ₌ x-a m_s I

m₈(x) = ~^(x-a)_> czyli: m_s(x) =    (x-1)=0,83m_s(x-1).

Rys. 7.4b