5,6

W przypadku gdy zbiór £2 jest skończony lub przeliczalny jako JA przyjmować będziemy zawsze rodzinę wszystkich podzbiorów £2.

Probabilistyczny model eksperymentu losowego polega na określeniu przestrzeni zdarzeń elementarnych £2, związaniu z tą przestrzenią rodziny zdarzeń Si oraz

przyporządkowaniu każdemu zdarzeniu Ag Si liczby będącej jego

prawdopodobieństwem (a zatem prawdopodobieństwo to funkcja). Intuicyjnym odpowiednikiem prawdopodobieństwa zdarzenia A jest częstość występowania zdarzenia A w dużej liczbie powtórzeń eksperymentu w takich samych warunkach (jak zobaczymy później, odpowiedniość ta ma silne uzasadnienie w postaci prawa wielkich liczb).

Przypisanie zdarzeniom ich prawdopodobieństw nie może być zupełnie dowolne. W 1933 roku A.Kołmogorow ustalił, że następujący układ aksjomatów zapewnia zarówno zgodność z intuicyjnym rozumieniem prawdopodobieństwa jak i prowadzi do niesprzecznych modeli opisujących zjawiska losowe.

Def. Funkcję rzeczywistą P na przestrzeni mierzalnej (£2, SI) o własnościach:

V A e JA P(A)>0

P(£2)=1

/

V

\ >=1.2,

A_: G JA

		(« \
A,nAj=0	=> P	U^Ai
)		\ i=l J

co

I^P(Ai)

nazywamy prawdopodobieństwem (miarą probabilistyczną) na (£2; Si) a trójkę (£2, SL ,P) nazywamy przestrzenią prawdopodobieństwa (przestrzenią probabilistyczną). Innymi słowy: prawdopodobieństwo to nieujemna, unormowana, przeliczalnie addytywna funkcja zbioru określona na JA.

Rachunek prawdopodobieństwa nie udziela odpowiedzi na pytanie w jaki sposób należy wybrać przestrzeń prawdopodobieństwa będącą sensownym modelem danego eksperymentu losowego (odpowiedź taką uzyskać można dopiero przy użyciu metod statystyki matematycznej), Odpowiada zaś na pytanie jak dla zadanego modelu (£2, A,P) wyznaczyć prawdopodobieństwa różnych, złożonych

zdarzeń losowych związanych z tym modelem. Bada uniwersalne własności i prawa dotyczące zdarzeń losowych, funkcji na nich określonych i prawdopodobieństw z nimi związanych przy zadanej z góry przestrzeni probabilistycznej.

Elementarne własności prawdopodobieństwa:

1.    VA e A PfAO^-PtA)

Dowód: Ponieważ z (1) A oraz A' należą do A, wykluczają się oraz AuA =Q, zatem z (2) mamy tezę.

2.    P(0)=O bo 0uQ=D oraz 0 i Q wykluczają się. Odwrócenie tego twierdzenia nie jest prawdziwe. Z faktu, że P{A)=0 nie wynika, że A jest zdarzeniem niemożliwym.

3.    V A,Be A takie, że AcB mamy:

(a)    P(B-A)=P(B)-P(A)

(b)    P(A) < P(B)

Dowód: Z inkluzji AcB wynika, że B=Au(B-A) oraz A i B-A wykluczają się, zatem P(B)=P(A)+P(B-A) co daje tezę (a). Dla dowodu (b) zauważmy z (2), że P(B-A)>0 , zatem P(B)>P(A).

4.    V A € A 0 < P(A) < 1

Dowód: Nierówność P(A) > 0 wynika z (2). Dla dowodu nierówności P(A)<1 zauważmy, że A c i zastosujemy 3.(b).

5.    A,B,e A P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B)

Dowód: Zdarzenie A u B przedstawmy jako sumę zdarzeń wykluczających się, tzn.

A u B = (A-(A u B)) u (A n B) u (B-(A n B))

Uwzględniając, że zawsze (AnB)cA oraz (AnB)cB mamy

6